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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 14

Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(��es) dada(s).

f x 1 , x 2 , … x n = x 1 + x 2 + … + x n ,     x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

Passo 1

Oie, tudo bem? Vamos resolver juntinhos mais uma atividade.

Aqui a gente tem a função:

f x 1 , x 2 , … x n = x 1 + x 2 + … + x n

Com a restrição:

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

E vamos utilizar os multiplicadores de Lagrange:

∇ f = λ ∇ g

Para nos ajudar a encontrar os máximos e mínimos.

Veja então que o que iremos fazer aqui é encontrar os gradientes de f e g , deveremos satisfazer a igualdade.

Com o sistema formado pela igualdade de vetores, poderemos substituir na restrição os valores, e encontramos os pontos críticos.

Esses pontos serão utilizados na função f para encontrarmos os pontos de máximo e de mínimo.

Passo 2

Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:

∇ f x , y =   λ ∇ g ( x , y )

Sendo a nossa função:

f x 1 , x 2 , … x n = x 1 + x 2 + … + x n

Independentemente de quantas variáveis ela tenha, seu gradiente terá a forma:

∇ f = 1,1 , … , 1

Já para a nossa restrição:

g x 1 , x 2 , … x n = x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

O comportamento é parecido, mas teremos o seguinte gradiente:

∇ g = 2 x 1 ,   2 x 2 … 2 x n

Então nossa igualdade se torna:

1,1 , … , 1 = 2 x 1 ,   2 x 2 … 2 x n λ

Beleza, daqui a gente tira que:

1 = λ 2 x 1

1 = λ 2 x 2

.

.

.

1 = λ 2 x n

Passo 3

precisamos que

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

Que é a nossa restrição.

Vamos isolar o λ ...

λ = 1 2 x 1 = 1 2 x 2 = … 1 2 x n

Daí a gente tira que:

2 x 1 = 2 x 2 … = 2 x n

x 1 = x 2 = … = x n

Substituindo na equação

x 1 2 + x 2 2 + … + x n 2 = 1

x 1 2 + x 1 2 + … + x 1 2 = 1

n   x 1 2 = 1

x 1 = ± 1 n

x 1 = ± 1 n

Beleza, então temos os pontos:

- 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n   e   1 n , 1 n , … , 1 n

Que são os pontos críticos que devem ser testados na função.

Passo 4

Vamos ver o valor da função nesses pontos então:

f x 1 , x 2 , … x n = x 1 + x 2 + … + x n

f - 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n = - 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n  

Essa soma se repete n vezes:

f - 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n = n - 1 n  

Racionalizando:

f - 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n = - n 1 n ⋅ n n

f - 1 n ,   - 1 n , … , - 1 n = - n

O mesmo é feito para o segundo ponto crítico, temos então que:

f 1 n , 1 n , … , 1 n = n

O valor máximo então é n e o mínimo é - n .

Resposta

- n   e   n

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