Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4

x 2 + y 2 + z 2 = 1

Passo 1

Oii, tudo bem?? Bom... o enunciado nos deu essa funçãozinha:

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4

Queremos determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita a seguinte restrição:

x 2 + y 2 + z 2 = 1

A gente pode transformar essa expressão em uma função g passando todo mundo para um lado da igualdade (já já você vai entender hehe):

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1

Para determinarmos os valores, teremos que utilizar o Método dos Multiplicadores de Lagrange!!

Mas que método é esse???

Então... para determinar os valores máximo e mínimo de f x , y , z sujeitos à restrição g x , y , z = k (supondo que esses valores extremos existam e que ∇ g ≠ 0 sobre a superfície g x , y , z = k ), então:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Esse λ é o nosso multiplicador de Lagrange!!!

Se ainda ficou confuso, é o seguinte: Primeiro vamos calcular os gradientes de f (ou seja, ∇ f ) e depois os de g (ou seja, ∇ g ).

Em seguida iremos calcular o valor de λ utilizando a equação que você acabou de ver. Com isso, aplicando na nossa restrição g encontraremos os valores de máximo e mínimo!!!

Agora bora lá!! 😉

Passo 2

Vamos então tirar os gradientes das nossas funções!

Primeiro vamos para a função f :

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4

Para calcular o gradiente ∇ f , basta aplicarmos as derivadas parciais!!

Derivando em relação a x , aplicando a regra da potência, temos:

f x = ∂ ∂ x   x 4 + y 4 + z 4 ∴

f x = 4 x 3

De forma análoga, derivando em relação a y :

f y = ∂ ∂ y x 4 + y 4 + z 4 ∴

f y = 4 y 3

E, derivando em relação a z :

f z = ∂ ∂ z x 4 + y 4 + z 4 ∴

f z = 4 z 3

Assim, nosso gradiente é:

∇ f = 4 x 3 , 4 y 3 , 4 z 3

Passo 3

Agora vamos para a função g :

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 1

Derivando com relação a x , aplicando a regra da potência, obtemos:

g x = ∂ ∂ x   x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∴

g x = 2 x

Derivando em relação a y de forma análoga:

g y = ∂ ∂ y   x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∴

g y = 2 y

E, por fim, derivando z :

g z = ∂ ∂ z   x 2 + y 2 + z 2 - 1 ∴

g z = 2 z

Assim, nosso gradiente é:

∇ g = 2 x , 2 y , 2 z

Passo 4

Beleza, temos nossos gradientes, agora vamos encontrar um λ que satisfaça a equação.

Para isso, basta aplicarmos os gradientes que encontramos no passo anterior na equação que apresentamos no Passo 1:

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z ∴

4 x 3 , 4 y 3 , 4 z 3 = λ ⋅ 2 x , 2 y , 2 z

Daí, vamos tirar que:

4 x 3 = λ ⋅ 2 x 4 y 3 = λ ⋅ 2 y 4 z 3 = λ ⋅ 2 z

Simplificando, temos:

2 x 2 = λ 2 y 2 = λ 2 z 2 = λ

Bom... a partir daqui vamos fazer três análises:

  1. Se x ≠ 0 ,   y ≠ 0 e z ≠ 0 ;
  2. Se uma das variáveis for igual a zero e as outras duas forem diferentes de zero;
  3. Se duas das variáveis forem iguais a zero e a outra for diferente de zero.

Passo 5

Vamos para o primeiro caso:

x ≠ 0 ,   y ≠ 0 e z ≠ 0

Perceba que, isolando λ em cada equação, temos:

λ = 2 x 2 = 2 y 2 = 2 z 2

Perceba que:

x 2 = y 2 = z 2

Dessa forma, aplicando na equação da nossa restrição, obtemos:

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∴

x 2 + x 2 + x 2 = 1 ∴

3 x 2 = 1 ∴

x = ± 1 3

Com isso, podemos fazer a seguinte generalização:

x = y = z = ± 1 3

Aplicando esses valores em f , iremos obter:

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 ∴

f ± 1 3 , ± 1 3 , ± 1 3 = ± 1 3 4 + ± 1 3 4 + ± 1 3 4 ∴

f ± 1 3 , ± 1 3 , ± 1 3 = 1 3

Agora vamos ver o outro caso!!! 😉

Passo 6

Agora vamos analisar o caso em que uma das variáveis for igual a zero e as outras duas forem diferentes de zero.

Vamos levar isso para os cálculos selecionando uma coordenada igual a zero z = 0 e igualando as outras duas x = y :

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∴

x 2 + x 2 + 0 = 1 ∴

x = ± 1 2 = y

Assim, aplicando isso na nossa função f , teremos:

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 ∴

f ± 1 2 , ± 1 2 , 0 = ± 1 2 4 + ± 1 2 4 + 0 4 ∴

f ± 1 2 , ± 1 2 , 0 = 1 2

Agora vamos analisar o último caso!! 😉

Passo 7

Agora vamos analisar o caso em que duas das variáveis forem iguais a zero e a outra for diferente de zero.

Vamos levar isso para os cálculos selecionando duas coordenadas iguais a zero y = z = 0 :

x 2 + y 2 + z 2 = 1 ∴

x 2 + 0 + 0 = 1 ∴

x = ± 1

Assim, aplicando isso na nossa função f , teremos:

f x , y , z = x 4 + y 4 + z 4 ∴

f ± 1,0 , 0 = ± 1 4 + 0 4 + 0 4 ∴

f ± 1,0 , 0 = 1

Analisando esses três casos, podemos concluir que o nosso máximo ocorre quando duas das variáveis são iguais a zero e a outra seja diferente de zero, caso em que:

f = 1

Por outro lado, o nosso mínimo ocorre quando todas as coordenadas são iguais a ± 1 3 , ou seja, o caso em que:

f = 1 3

Prontinho! Conseguimos!

Resposta

O nosso máximo ocorre quando duas das variáveis são iguais a zero e a outra seja diferente de zero, caso em que:

f = 1

Por outro lado, o nosso mínimo ocorre quando todas as coordenadas são iguais a ± 1 3 , ou seja, o caso em que:

f = 1 3

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