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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 37

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 47

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

O enunciado cita pra gente o exercício 47:

“Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x + 2 y + 3 z = 6 ”

E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à uma restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

Mas qual é função que estamos maximizando? E qual a restrição para esse caso?

Vamos primeiro tentar entender essa descrição da caixa!

A caixa que o enunciado descreve tem um vértice em 0,0 , 0 enquanto os demais estão nos planos coordenados, EXCETO o vértice que pertence ao plano x + 2 y + 3 z = 6 ! Isto é, o vértice “oposto” ao da origem.

Mas veja que esse vértice x , y , z descreve justamente a dimensão da caixa! Então temos o seguinte:

A função que estamos maximizando é o volume da caixa, isto é

f x , y , z = x y z

E a restrição é exatamente a equação do plano

x + 2 y + 3 z = 6

Ou ainda

g ( x , y , z ) = x + 2 y + 3 z

Passo 2

Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes ∇ f e ∇ g ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:

Para ∇ f

∂ f ∂ x = ∂   ( x y z ) ∂ x

∂ f ∂ x = y z

∂ f ∂ y = ∂   ( x y z ) ∂ y

∂ f ∂ y = x z

∂ f ∂ z = ∂   ( x y z ) ∂ z

∂ f ∂ z = x y

De forma que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = y z , x z , x y

Para ∇ g

∂ g ∂ x = ∂   ( x + 2 y + 3 z ) ∂ x

∂ g ∂ x = 1

Analogamente, temos

∂ g ∂ y = 2

∂ g ∂ z = 3

De forma que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g = 1 ,   2 ,   3

Ou ainda

λ ⋅ ∇ g = λ ,   2 λ ,   3 λ

Passo 3

Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever

y z , x z , x y = λ ,   2 λ ,   3 λ

Agora vamos analisar cada uma das igualdades!

Temos o seguinte sistema:

y z = λ

x z = 2 λ

x y = 3 λ

E incluindo a restrição, temos também

x + 2 y + 3 z = 6

Ou ainda

λ = y z

λ = x z 2

λ = x y 3

De forma que

x z 2 = y z

x 2 = y

E ainda

x y 3 = y z

x 3 = z

Substituindo esses valores na expressão da restrição, temos

x + 2 y + 3 z = 6

x + 2 x 2 + 3 x 3 = 6

3 x = 6

x = 2

E dessa forma

y = 1

z = 2 3

E assim, o volume da caixa é

f x , y , z = x y z

f 2 ,   1 , 2 3 = 2 ⋅ 1 ⋅ 2 3

f 2 ,   1 , 2 3 = 4 3

Resposta

O volume da caixa descrita é

f 2 ,   1 , 2 3 = 4 3

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