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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.8 - Ex. 26

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 40

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

O enunciado cita pra gente o exercício 40:

“Determine o ponto do plano x - y + z = 4 que está mais próximo do ponto ( 1 ,   2 ,   3 ) ”

E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à uma restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

E dessa forma, o plano proposto no enunciado é a nossa restrição!

x - y + z = 4

Ou ainda

g x , y , z = x - y + z

Mas qual é a função que estamos tentando maximizar/minimizar?

O enunciado nos diz “mais próximo do ponto ( 1 ,   2 ,   3 ) ” então nós queremos minimizar uma função f x , y , z que descreve a distância de um ponto genérico x , y , z no plano até ( 1 ,   2 ,   3 ) !

E essa distância pode ser dada por

D ² = ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2

Mas se minimizarmos D ² nós também estamos minimizando D ! De forma que a função será

f x , y , z = ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2

Passo 2

Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes ∇ f e ∇ g ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:

Para ∇ f

∂ f ∂ x = ∂   ( ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 ) ∂ x

∂ f ∂ x = 2 ( x - 1 )

∂ f ∂ y = ∂   ( ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 ) ∂ y

∂ f ∂ y = 2 ( y - 2 )

∂ f ∂ z = ∂   ( ( x - 1 ) 2 + ( y - 2 ) 2 + ( z - 3 ) 2 ) ∂ z

∂ f ∂ z = 2 ( z - 3 )

De forma que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = 2 x - 1 , 2 y - 2 , 2 ( z - 3 )

Para ∇ g

∂ g ∂ x = ∂   ( x - y + z ) ∂ x

∂ g ∂ x = 1

∂ g ∂ y = ∂   ( x - y + z ) ∂ y

∂ g ∂ y = - 1

∂ g ∂ z = ∂   ( x - y + z ) ∂ z

∂ g ∂ z = 1

De forma que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g = 1 ,   - 1 ,   1

Ou ainda

λ ⋅ ∇ g = λ ,   - λ ,   λ

Passo 3

Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever

2 x - 1 , 2 y - 2 , 2 ( z - 3 ) = λ , -   λ ,   λ

Agora vamos analisar cada uma das igualdades!

Temos o seguinte sistema:

2 x - 1 = λ

2 y - 2 = - λ

2 z - 3 = λ

E incluindo a restrição, temos também

x - y + z = 4

Isolando os valores de x , y e z nas primeiras equações temos

x = λ 2 + 1

y = - λ 2 + 2

z = λ 2 + 3

E se substituirmos esses valores na equação da restrição obtemos

λ 2 + 1 + - λ 2 + 2 + λ 2 + 3 = 1

λ = 4 3

E substituindo λ nós obtemos os valores de x , y e z !

x = 5 3

y = 4 3

z = 11 3

Isto é, o ponto que torna a expressão com os multiplicadores de Lagrange verdadeira é x ,   y ,   z = 5 3 , 4 3 , 11 3 !

Como só obtemos um ponto de interesse, esse é o ponto que dá a distância mínima entre o plano e o ponto ( 1,2 , 3 ) ! De brinde, se substituirmos na fórmula da distância obtemos D = 1,15 !

Resposta

O ponto do plano mais próximo de ( 1,2 , 3 ) é 5 3 , 4 3 , 11 3 .

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