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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 36

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados

Exercício 46

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de multiplicador de Lagrange, vamos lá!

O enunciado cita pra gente o exercício 46:

“Encontre as dimensões de uma caixa com volume 1000 c m ³ que tenha a área de sua superfície mínima”

E nos pede para resolvê-lo usando o método dos multiplicadores de Lagrange! Mas o que exatamente é isso?

O método de Lagrange propõe que: Para determinar os valores máximo e mínimo de uma função f x , y , z sujeita à uma restrição g x , y , z = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y , z = λ ⋅ ∇ g x , y , z

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente da função e da restrição, nós podemos procurar por valores de x , y ,   z e λ que satisfaçam essa expressão!

Mas qual é função que estamos maximizando? E qual a restrição para esse caso?

A função que buscamos o valor máximo é a que descreve o volume da caixa! Ora, temos então uma caixa de dimensões x , y e z onde o volume é dado por

x y z = 1000

Ou ainda

g x , y , z = x y z

E ainda, sabemos que a superfície da caixa é mínima, de forma que podemos definir a função como

f x , y , z = 2 y z + 2 x z + 2 x y

Passo 2

Para montarmos a nossa expressão do multiplicador de Lagrange, precisamos primeiramente encontrar os gradientes ∇ f e ∇ g ! Como o gradiente nada mais é que o conjunto das derivadas parciais, nós teremos:

Para ∇ f

∂ f ∂ x = ∂   ( 2 y z + 2 x z + 2 x y ) ∂ x

∂ f ∂ x = 2 z + 2 y

∂ f ∂ y = ∂   ( 2 y z + 2 x z + 2 x y ) ∂ y

∂ f ∂ y = 2 z + 2 x

∂ f ∂ z = ∂   ( 2 y z + 2 x z + 2 x y ) ∂ z

∂ f ∂ z = 2 y + 2 x

De forma que

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

∇ f = 2 z + 2 y , 2 z + 2 x , 2 y + 2 x

Para ∇ g

∂ g ∂ x = ∂   ( x y z ) ∂ x

∂ g ∂ x = y z

∂ g ∂ y = ∂   ( x y z ) ∂ y

∂ g ∂ y = x z

∂ g ∂ z = ∂   ( x y z ) ∂ z

∂ g ∂ z = x y

De forma que

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z

∇ g = y z , x z , x y

Ou ainda

λ ⋅ ∇ g = λ y z ,   λ x z ,   λ x y

Passo 3

Agora que temos todos os termos da expressão, podemos escrever

2 z + 2 y , 2 z + 2 x , 2 y + 2 x = λ y z ,   λ x z ,   λ x y

Agora vamos analisar cada uma das igualdades!

Temos o seguinte sistema:

2 z + 2 y = λ y z

2 z + 2 x = λ x z

2 y + 2 x = λ x y

E incluindo a restrição, temos também

x y z = 1000

Podemos simplificar esse sistema dividindo a primeira equação pela segunda/terceira e vice-versa, obtendo

2 z + 2 y 2 z + 2 x = λ y z λ x z

z + y z + x = y x

( z + y ) x = y ( z + x )

y x = y z

x = z

E, analogamente x = y = z

E se substituirmos na equação da restrição obtemos

x y z = 1000

x ³ = 1000

x = 10

De forma que as dimensões da nossa caixa serão 10 , 10 , 10

Resposta

As dimensões da caixa são x , y , z = 10 , 10 , 10

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Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 = 1