Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

Exercício 43

Passo 1

Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de valor máximo com derivadas parciais, vamos lá!

A questão descreve a seguinte situação pra gente:

Temos três números positivos cuja a soma é 100 , de forma que podemos escrever o seguinte

x + y + z = 100

E além disso, o produto entre os três é máximo, de forma que também temos a função

P x , y , z = x y z

Para determinar o valor máximo da função P x , y , z sujeita à uma restrição g x , y = k nós podemos usar a seguinte fórmula

∇ f x , y = λ ⋅ ∇ g x , y

Onde λ é o nosso multiplicador de Lagrange!

Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de x , y e λ que satisfaçam essa expressão!

Passo 2

A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é

∇ P = λ ∇ g

Onde P x , y , z = x y z e g x , y = x + y + z

Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como

( P x , P y , P z )   = λ ( g x , g y ,   g z )

Calculando essas derivadas parciais, encontramos

∂ P ∂ x = ∂ ∂ x x y z

P x = y z

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y x y z

P y = x z

∂ f ∂ z = ∂ ∂ z x y z

P z = y z

∂ g ∂ x = ∂ ∂ x x + y + z

g x = 1

∂ g ∂ y = ∂ ∂ y x + y + z

g y = 1

∂ g ∂ z = ∂ ∂ z x + y + z

g z = 1

De forma que ficamos com o seguinte

( y z ,   x z ,   y z )   = λ ( 1 ,   1 ,   1 )

Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações

y z =   λ

x z =   λ

y z =   λ

E além disso, considerando a restrição também temos

x + y + z = 100

Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter o ponto de interesse!

Passo 3

Temos o seguinte sistema

y z =   λ

x z =   λ

y z =   λ

x + y + z = 100

De cara nós já percebemos, pelas três primeiras equações, que

x = y = z

De forma que, substituindo na equação da restrição

x + ( x ) + ( x ) = 100

3 x = 100

x = 100 / 3

E dessa forma

y = 100 / 3

z = 100 / 3

Assim, o ponto que buscávamos é

100 3 , 100 3 , 100 3

Resposta

100 3 , 100 3 , 100 3

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