Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 33
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
Exercício 43
Passo 1
Opa, tudo tranquilo? Questãozinha de valor máximo com derivadas parciais, vamos lá!
A questão descreve a seguinte situação pra gente:
Temos três números positivos cuja a soma é , de forma que podemos escrever o seguinte
E além disso, o produto entre os três é máximo, de forma que também temos a função
Para determinar o valor máximo da função sujeita à uma restrição nós podemos usar a seguinte fórmula
Onde é o nosso multiplicador de Lagrange!
Assim, definindo o gradiente (as derivadas parciais) da função e das restrições, nós podemos procurar por valores de e que satisfaçam essa expressão!
Passo 2
A expressão que relaciona a função às restrições com os multiplicadores de Lagrange é
Onde e
Como o gradiente é o conjunto das derivadas parciais, então podemos reescrever isso como
Calculando essas derivadas parciais, encontramos
De forma que ficamos com o seguinte
Dessa expressão “matricial” obtemos o seguinte sistema de equações
E além disso, considerando a restrição também temos
Agora precisamos analisar esse sistema de equações para obter o ponto de interesse!
Passo 3
Temos o seguinte sistema
De cara nós já percebemos, pelas três primeiras equações, que
De forma que, substituindo na equação da restrição
E dessa forma
Assim, o ponto que buscávamos é