Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 43
O plano intercepta o paraboloide em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem.
Passo 1
Oie, tudo bem? Pronto para mais uma resolução?
Queremos aqui encontrar os pontos da elipse gerada pela intersecção entre:
E
Que estão mais próximos e mais longe da origem.
A distância de um ponto à origem é .
Seja
A distância será máxima ou mínima quando for também máxima ou mínima. Sejam
a equação do plano dado e
a equação da paraboloide dada. Os pontos devem pertencer tanto ao plano quanto à paraboloide.
Queremos então achar o máximo e o mínimo de dadas as restrições e .
Devemos achar os valores de que satisfaçam a equação:
Os pontos resultantes serão possíveis máximo ou mínimo de dadas as restrições e .
O ponto mais próximo da origem será aquele com menor valor de , e o mais afastado, aquele com maior valor de .
Passo 2
Vamos começar a calcular:
Que é escrito como:
As derivadas parciais são realizadas derivando em relação a variável que queremos e consideramos todas as outras variáveis como constantes:
E
teremos então:
Temos então o seguinte sistema:
Passo 3
Fazendo menos , chegamos em:
então ou.
Em , implica
e em I, implica .
Juntando e , achamos
Então, a equação V se torna em
o que é impossível, pois a soma de dois quadrados não pode dar negativa. Logo, a hipótese inicial está errada, e temos, na verdade, .
Passo 4
Fazendo em , obtemos
Fazendo em , obtemos
Logo,
Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos:
;
Para , temos e . Para , temos e .
Nossos pontos são, portanto
e
Temos que:
e
Resposta
O ponto mais próximo da origem é , e o mais afastado, .