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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 43

O plano x + y + 2 z = 2 intercepta o paraboloide z = x 2 + y 2 em uma elipse. Determine os pontos dessa elipse que estão mais próximo e mais longe da origem.

Passo 1

Oie, tudo bem? Pronto para mais uma resolução?

Queremos aqui encontrar os pontos da elipse gerada pela intersecção entre:

x + y + 2 z = 2

E

z = x 2 + y 2

Que estão mais próximos e mais longe da origem.

A distância de um ponto x , y , z à origem 0,0 , 0 é d = x 2 + y 2 + z 2 .

Seja

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

A distância será máxima ou mínima quando f x , y , z for também máxima ou mínima. Sejam

g x , y , z = x + y + 2 z = 2

a equação do plano dado e

h x , y , z = x 2 + y 2 - z = 0

a equação da paraboloide dada. Os pontos x , y , z devem pertencer tanto ao plano quanto à paraboloide.

Queremos então achar o máximo e o mínimo de f x , y , z dadas as restrições g x , y , z e h x , y , z .

Devemos achar os valores de λ ,   µ ,   x ,   y , z que satisfaçam a equação:

∇ f = λ ∇ g + µ ∇ h

Os pontos ( x , y , z ) resultantes serão possíveis máximo ou mínimo de f x , y , z dadas as restrições g ( x , y , z ) e h x , y , z .

O ponto mais próximo da origem será aquele com menor valor de f x , y , z , e o mais afastado, aquele com maior valor de f x , y , z .

Passo 2

Vamos começar a calcular:

∇ f = λ ∇ g + μ ∇ h

Que é escrito como:

< f x , f y , f z >   = λ < g x , g y , g z > + µ < h x , h y , h z >

As derivadas parciais são realizadas derivando em relação a variável que queremos e consideramos todas as outras variáveis como constantes:

f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2

g x , y , z = x + y + 2 z = 2

E

h x , y , z = x 2 + y 2 - z = 0

teremos então:

< 2 x , 2 y , 2 z >   = λ < 1,1 , 2 > + µ < 2 x , 2 y , - 1 >

Temos então o seguinte sistema:

  1. 2 x = λ + 2 µ x
  2. 2 y = λ + 2 µ y
  3. 2 z = 2 λ - µ
  4. x + y + 2 z = 2
  5. x 2 + y 2 - z = 0

Passo 3

Fazendo I menos I I , chegamos em:

2 x - y = 2 µ ( x - y )

então x = y ou   µ = 1 .

Em I I I , µ = 1 implica

z = λ - 1 2

e em I, implica λ = 0 .

Juntando λ = 0 e z = λ - 1 2 , achamos

z = - 1 2

Então, a equação V se torna em

x 2 + y 2 + 1 2 = 0

o que é impossível, pois a soma de dois quadrados não pode dar negativa. Logo, a hipótese inicial µ = 1 está errada, e temos, na verdade, x = y .

Passo 4

Fazendo x = y em I V , obtemos

z = 1 - x

Fazendo x = y em V , obtemos

z = 2 x 2

Logo,

1 - x = 2 x 2

Resolvendo essa equação de segundo grau, encontramos:

x = - 1 ; x = 1 2

Para x = - 1 , temos y = - 1 e z = 2 . Para x = 1 2 , temos y = 1 2 e z = 1 2 .

Nossos pontos são, portanto

- 1 , - 1,2 e 1 2 , 1 2 , 1 2

Temos que:

f - 1 , - 1,2 = 6

e

f 1 2 , 1 2 , 1 2 = 3 4

Resposta

O ponto mais próximo da origem é 1 2 , 1 2 , 1 2 , e o mais afastado, - 1 , - 1,2 .

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