Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 8
Cada um desses problemas de valor extremo possui uma solução com um valor máximo e um valor mínimo. Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).
Passo 1
Olá, tudo bem? Vou te ajudar hoje a resolver essa atividade.
Nos foi dada a função:
E queremos encontrar os valores máximos e mínimos dela, a partir dos multiplicadores de Lagrange.
Devemos ainda nos atentar para o fato de que temos a seguinte restrição:
Para usar os multiplicadores de Lagrange, precisamos que:
Em que
Devemos então encontrar os gradientes das funções, que são dados por:
Isso é, as derivadas parciais de todas as variáveis da função. Para se encontrar a derivada parcial devemos derivar em relação a variável que a gente quer e considerar todas as outras variáveis como constantes.
Depois disso teremos em mãos um sistema com a igualdade que apresentamos e que deve ser resolvido em conjunto com a equação de restrição. Disso teremos pontos críticos, esses pontos serão utilizados na equação da função.
O ponto com maior valor de será o ponto de máxima, e o ponto de menor valor será o ponto de mínimo.
Passo 2
Vamos começar pelas derivadas parciais para encontrarmos o gradiente:
Aqui deveremos utilizar a regra da cadeia:
O processo é semelhante para as outras derivadas:
Agora vamos encontrar o gradiente de :
Então teremos a igualdade:
Beleza, daqui a gente tira que:
E precisamos satisfazer a restrição:
Vamos isolar o ...
Passo 3
Igualando todos os valores de da igualdade anterior:
(estamos considerando que são diferentes de zero)
Vamos separar pra ficar mais fácil:
Simplificando o :
E:
Simplificando o :
Agora a gente joga tudo em função de na equação
E aí o
Agora o :
Passo 4
Os pontos que nós vamos considerar então são:
Vamos ver o valor da função nesses pontos agora:
Ou seja, o valor mínimo da função na restrição dada é , e o valor máximo é