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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.8 - Ex. 46

44. Ache os valores de máximo e mínimo da função f sujeita às restrições dadas. Utilize um sistema de computação algébrica para resolver o sistema de equações provenientes do uso de multiplicadores de Lagrange. (Se seu SCA achar somente uma solução, você pode precisar do uso de comandos adicionais.)

f x , y , z = y e x - z ; 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36 ; x y + y z = 1

Passo 1

Para encontrar os valores máximos e mínimos dessa função com a restrição apresentada é necessário utilizar o método dos multiplicadores de Lagrange.

Esse método consiste em encontrar pontos que pertençam a ambas as curvas de nível ao mesmo tempo, e para isso, é necessário calcular os gradientes: vetores que indicam as direção e sentido de maior variação das funções. Ele é definido como

∇ f x , y , z = ∂ f x , y , z ∂ x , ∂ f x , y , z ∂ y , ∂ f x , y , z ∂ z

Como os pontos de máximo e mínimo que estamos procurando pertence a mais de uma curva de nível, precisamos lembrar que o vetor gradiente é sempre perpendicular a essas curvas, de modo que

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ h ( x , y , z )

Para resolver a questão devemos primeiro encontrar as funções g ( x , y ) e h ( x , y ) das restrições para então calcular os vetores gradientes dessas funções e resolver um sistema de equações para encontrar os pontos críticos ( x o , y o , y o ) .

Com os pontos críticos iremos avaliar se estes são pontos de máximo ou de mínimo.

Passo 2

A questão nos dá uma restrição representada por uma curva de nível

9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36

Podemos expressar a função da restrição da seguinte forma

g x , y = 0 = 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 - 36

De forma análoga para a outra restrição

h x , y = 0 = x y + y z - 1

Passo 3

Agora que temos as duas funções, podemos calcular suas derivadas parciais para obter seus vetores gradiente

∂ f x , y , z ∂ x = f x = ∂ ∂ x y e x - z = y e x - z

∂ f x , y , z ∂ y = f y = ∂ ∂ y y e x - z = e x - z

∂ f x , y , z ∂ z = f z = ∂ ∂ z y e x - z = - y e x - z

Portanto, o vetor gradiente para f ( x , y , z ) é dado por

∇ f x , y , z = y e x - z , e x - z , - y e x - z

Realizando o mesmo procedimento para a função g ( x , y , z )

∂ g x , y , z ∂ x = g x = ∂ ∂ x 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 - 36 = 18 x

∂ g x , y , z ∂ y = g y = ∂ ∂ y 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 - 36 = 8 y

∂ g x , y , z ∂ z = g z = ∂ ∂ z 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 - 36 = 72 z

Portanto, o vetor gradiente para g ( x , y , z ) é dado por

∇ g x , y , z = 18 x , 8 y , 72 z

Realizando o mesmo procedimento para a função h ( x , y , z )

∂ h x , y , z ∂ x = h x = ∂ ∂ x x y + y z - 1 = y

∂ h x , y , z ∂ y = h y = ∂ ∂ y x y + y z - 1 = x + z

∂ h x , y , z ∂ z = h z = ∂ ∂ z x y + y z - 1 = y

Portanto, o vetor gradiente para h ( x , y , z ) é dado por

∇ h x , y , z = y , x + z , y

Passo 4

Como o ponto que queremos encontrar pertence à curva de nível de ambas as funções, então seus vetores gradiente serão paralelos, de modo que devemos resolver

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z + μ h ( x , y , z )

Reescrevendo a expressão com os resultados encontrados, temos uma equação de vetores

y e x - z , e x - z , - y e x - z = λ 18 x , 8 y , 72 z + μ y , x + z , y

Igualando os componentes dos vetores podemos obter um sistema de equações

y e x - z = 18 λ x + μ y e x - z = 8 λ y + μ ( x + z ) - y e x - z = 72 λ z + μ y

Como as variáveis estão sujeitas a restrições g ( x , y , z ) e h ( x , y , z ) , essas restrições também devem fazer parte de nosso sistema de equações

y e x - z = 18 λ x + μ y e x - z = 8 λ y + μ ( x + z ) - y e x - z = 72 λ z + μ y 9 x 2 + 4 y 2 + 36 z 2 = 36 x y + y z = 1

Passo 5

Para resolver o sistema é necessário do auxílio de um sistema de computação algébrica. Assim, encontramos que os pontos críticos e seus respectivos f ( x , y , z ) que dão o seguinte

{ - 5,35065 ;   - 0,0687504 ;   0,408449 ;   9,7938 }

Logo, o ponto de mínimo será

- 5,35065

E o ponto de máximo

9,7938

Resposta

Ponto de mínimo:

- 5,35065

Ponto de máximo:

9,7938

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