Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições.

f(x, y, z) = x + y + z, x^2 + z^2 = 2, x + y = 1

Passo 1

Hello, meu brother. Vamos resolver essa atividade de valores máximos e mínimos aqui.

A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função:

f x , y , z = x + y + z

Sujeita a duas restrições:

x 2 + z 2 = 2

x + y = 1

Para isso a gente vai utilizar os multiplicadores de Lagrange.

Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z =   μ ∇ h x , y , z

Então devemos encontrar os gradientes da nossa função, e das restrições. Eles são dados por:

∇ g = g x , g y , g z

E por:

∇ h = h x , h y , h z

Teremos então um sistema em conjunto com as equações das restrições. Após resolver esse sistema teremos pontos críticos, que serão testados na equação da função.

O maior valor obtido é o ponto de máximo, e o menor valor o ponto de mínimo.

Passo 2

No nosso caso aqui vamos começar a calcular os gradientes:

∇ f x , y , z =   λ ∇ g x , y , z =   μ ∇ h x , y , z

f x , y , z = x + y + z

Derivando em relação a variável que queremos, considerando todas as outras como constantes:

f x = 1

E

f y = 1

E por último:

f z = 1

Agora para a restrição:

g x , y , z = x 2 + z 2 = 2

Derivando da forma que indicamos:

g x = 2 x

E

g y = 0

E

g z = 2 z

Pela última restrição:

h x , y , z = x + y = 1

Teremos então:

h x = 1

E temos:

h y

Por último:

h z = 0

Temos então nossa igualdade como:

1,1 , 1 = λ 2 x , 0,2 z + μ ( 1,1 , 0 )

Passo 3

Beleza, daqui a gente tira que:

1 = λ 2 x + μ

1 = μ

1 = λ 2 z

Pois veja que devemos satisfazer a igualdade vetorial.

E precisamos que

g = x 2 + z 2 = 2 ,  

h = x + y = 1

que são as nossas restrições.

Já sabemos que o μ = 1 , então vamos substituir.

Passo 4

Vamos as substituições:

1 = λ 2 x + 1

λ 2 x = 0

x = 0 2 λ

1 = λ 2 z

z = 1 2 λ

Substituindo em x 2 + z 2 = 2 temos:

0 2 λ 2 + 1 2 λ 2 = 2

0 + 1 4 λ 2 = 2

Realizando a multiplicação:

8 λ 2 = 1

λ = ± 1 8

Simplificando:

�� =   ± 1 2 2  

Então se λ = - 1 2 2 , temos:

x = 0 ,   z = - 2   e   y = 1

E se λ = 1 2 2 , temos:

x = 0 ,     z = 2   e   y = 1

Passo 5

Vamos testar os pontos na função agora:

0,1 , - 2 ,   0,1 , 2

f x , y , z = x + y + z

f 0,1 , - 2 = 0 + 1 - 2 = 1 - 2

f 0,1 , 2 = 1 + 2

Ou seja, o valor máximo é 1 + 2 e o valor mínimo é 1 - 2 .

Resposta

1 - 2     e     1 + 2  

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