Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 17
Determine os valores extremos de sujeita a ambas as restrições.
Passo 1
Hello, meu brother. Vamos resolver essa atividade de valores máximos e mínimos aqui.
A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos da função:
Sujeita a duas restrições:
Para isso a gente vai utilizar os multiplicadores de Lagrange.
Para usar os multiplicadores de Lagrange com duas restrições, precisamos fazer:
Então devemos encontrar os gradientes da nossa função, e das restrições. Eles são dados por:
E por:
Teremos então um sistema em conjunto com as equações das restrições. Após resolver esse sistema teremos pontos críticos, que serão testados na equação da função.
O maior valor obtido é o ponto de máximo, e o menor valor o ponto de mínimo.
Passo 2
No nosso caso aqui vamos começar a calcular os gradientes:
Derivando em relação a variável que queremos, considerando todas as outras como constantes:
E
E por último:
Agora para a restrição:
Derivando da forma que indicamos:
E
E
Pela última restrição:
Teremos então:
E temos:
Por último:
Temos então nossa igualdade como:
Passo 3
Beleza, daqui a gente tira que:
Pois veja que devemos satisfazer a igualdade vetorial.
E precisamos que
que são as nossas restrições.
Já sabemos que o , então vamos substituir.
Passo 4
Vamos as substituições:
Substituindo em temos:
Realizando a multiplicação:
Simplificando:
Então se , temos:
E se , temos:
Passo 5
Vamos testar os pontos na função agora:
Ou seja, o valor máximo é e o valor mínimo é .