Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 33
Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.
- Exercício 43
Passo 1
Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine os pontos do cone que estão mais próximos do ponto (4, 2, 0).
Bom, a distância do ponto a um ponto qualquer do plano, é dada pela fórmula da distância .
Pra achar a menor distância, podemos minimizar essa função (achar o valor mínimo dela) na restrição do ponto pertencer ao cone .
Vamos fazer a função ao quadrado para não trabalharmos com raiz. Mas temos:
E
Para usar os multiplicadores de Lagrange precisamos fazer:
Passo 2
Bom, no nosso caso então temos:
Aí a gente iguala:
Da última equação temos que .
Mas se pela equação , teríamos também. E aí as duas equações de cima não seriam satisfeitas.
Então mesmo.
Passo 3
Bom, se , temos:
E aí o ...
Temos esses pontos então: .
São os pontos procurados✌