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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.8 - Ex. 39

Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.

  • Exercício 49

Passo 1

Pra relembrar o que pede nesse exercício: Determine o volume da maior caixa retangular no primeiro octante com três faces nos planos coordenados e com um vértice no plano x + 2 y + 3 z = 6

Vamos colocar que as dimensões da caixa são x ,   y   e   z .

O volume então é dado pela função f ( x , y , z ) = x y z .

Nós queremos então o máximo dessa função com a restrição de que um vértice tem que estar no plano x + 2 y + 3 z = 6 .

Pelos multiplicadores de Lagrange, precisamos de:

∇ f x , y , z = λ ∇ g x , y , z

Passo 2

Trazendo pro nosso caso temos:

y z ,   x z ,   x y = λ 1,2 , 3

y z = λ

x z = 2 λ

x y = 3 λ

Pela função do volume, nenhuma das letras pode valer zero (a gente quer o máximo né?!) Então a gente substitui o λ até relacionar uma letra com a outra...

λ = y z

x z = 2 y z → x = 2 y

x y = 3 y z → x = 3 z

3 z = 2 y → z = 2 y 3

Colocamos tudo em função de y , agora é só jogar na restrição...

Passo 3

Substituímos na restrição agora...  

x + 2 y + 3 z = 6

2 y + 2 y + 2 y = 6

6 y = 6

y = 1

E então, x = 2   e   z = 2 3 .

Então o maior volume pra esse caso é:

V = 2 1 2 3 = 4 3

Resposta

V = 4 3

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