Cada um dos Exercícios 59-80 fornece a primeira derivada de uma função contínua y = f(x). Determine y" e então use os passos 2-4 do procedimento para construção de gráficos da página 237 para esboçar a forma geral do gráfico de f.

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y' = (x - 2)^(-1/3)

Passo 1

Escrevendo a equação acima de outra forma nós teremos:

y ' = 1 x - 2 1 3

O que nos diz que essa função não tem pontos críticos pois a função nunca poderá ser 0.

Mas ela tem um ponto de crescimento máximo que é x = 2 pois seu denominador tende a zero nesse ponto. Mas ainda não podemos dizer o que é esse ponto.

Passo 2

Fazendo a segunda derivada para poder verificar se tem pontos de inflexão:

y ' ' = 1 ' ( x - 2 1 3 - 1 x - 2 1 3 ' x - 2 2 3 = - 1 3 x - 2 - 2 3 x - 2 2 3

O que nos dá:

y ' ' = - 1 3 x - 2 4 3

E por esse resultado podemos concluir que não há pontos de inflexão pois essa função não tem um zero definido, somente poderá haver uma mudança brusca de concavidade para x = 2 então esse ponto deverá ser analisado.

Passo 3

Organizando nossos intervalos temos:

Pontos de teste: 0, 3

Logo x = 2 representa um ponto de singularidade pois a concavidade não se altera mas a função deixa de ser decrescente e passa a ser crescente.

Resposta

y ' ' = - 1 3 x - 2 4 3

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