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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 14.2 - Ex. 74

Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um δ > 0 tal que, para todo (x, y),

x 2 + y 2 < δ ⇒ f x , y - f 0,0 < ϵ

f x , y = x 3 + y 4 x 2 + y 2   e   f 0,0 = 0 ,   ϵ = 0,0 2

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora testar nossos deltinhas!

Vamos tomar δ = 0 , 0 1 .

Se y ≤ 1 então y 2 ≤ | y | , também,

y 2 ≤ x 2 + y 2

y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Então | x | só pode ser igual a x 2 , e dessa forma,

x 2 ≤ x 2 + y 2

x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Vamos somar o que temos agora,

x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 + x 2 + y 2

x + | y | ≤ 2 x 2 + y 2

Portanto,

x + | y | < 2 δ

f x , y - f 0,0 = x 3 + y 4 x 2 + y 2 - 0 < 2 ⋅ 0,01 = 0,02 = ϵ

Bora pro próximo.

Resposta

Demonstração.

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