Cada um dos Exercícios 69-74 fornece uma função f (x, y) e um número positivo P. Em cada exercício, mostre que existe um delta > 0 tal que, para todo (x, y),

raiz(x^2 + y^2) < δ ⇒ |f(x, y) - f(0, 0)| < ϵ

f(x, y) = (x^3 + y^4) / (x^2 + y^2) e f(0,0) = 0, ϵ = 0,02

Passo 1

Fala minha galera querida!! Bora testar nossos deltinhas!

Vamos tomar δ = 0 , 0 1 .

Se y ≤ 1 então y 2 ≤ | y | , também,

y 2 ≤ x 2 + y 2

y 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Então | x | só pode ser igual a x 2 , e dessa forma,

x 2 ≤ x 2 + y 2

x 2 x 2 + y 2 ≤ 1

Vamos somar o que temos agora,

x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 + x 2 + y 2

x + | y | ≤ 2 x 2 + y 2

Portanto,

x + | y | < 2 δ

f x , y - f 0,0 = x 3 + y 4 x 2 + y 2 - 0 < 2 ⋅ 0,01 = 0,02 = ϵ

Bora pro próximo.

Resposta

Demonstração.

Exercícios de Livros Relacionados