Cada integral representa o volume de um sólido. Descreva o sólido.

π ∫ 0 π sin ⁡ x   d x

Passo 1

Opa, bora lá! O enunciado nos dá a seguinte integral:

π ∫ 0 π sin ⁡ x   d x

Essa integral representa o volume de um sólido. A gente precisa descrever essa integral, pra isso a gente usa a seguinte fórmula:

V x = ∫ x 1 x 2 π r 2 d x

Pela integral do enunciado, podemos dizer que o raio é r = sin ⁡ x . “Oxe, mas porque isso? Não entendi nada!!!”. Calminha!! Vamos demonstrar.

Passo 2

A nossa integral é:

π ∫ 0 π s e n   x   d x

Podemos colocar a constante pra dentro, assim:

∫ 0 π π s e n   x   d x

Então isso quer dizer que:

r 2 = s e n   x

r = s e n   x

Isso quer dizer que quando fizemos o calculo de volume do sólido, ela era assim:

π ∫ 0 π s e n   x   d x

Então temos que:

V x = π ∫ 0 π sin ⁡ x d x

Esse d x é o que descreve o volume do sólido obtido pela rotação da região.

Passo 3

O volume de um sólido pode ser representando tanto por:

V x = ∫ a b A ( x ) d x   ou V y = ∫ c d A ( y ) d y

Isso quer dizer, então, que os intervalos do plano x y em torno do eixo y, são:

R = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π }

Prontinho!!

Resposta

R = { ( x , y ) | 0 ≤ y ≤ sin ⁡ x , 0 ≤ x ≤ π }

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