Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.7 - Ex. 16

Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.

e ; ao redor dos eixos , e

Passo 1

Inicialmente, é importante fazer um esboço das duas curvas. Se liga nessa ilustração onde a vermelha representa e a azul :

A equação que define essa curva é a seguinte:

Para :

E para :

Passo 2

Para acharmos o ponto de interseção da curva vermelha com a azul do lado direito, podemos fazer assim ó:

Juntando a primeira com a segunda:

Elevando ao cubo dos dois lados:

Logo,

Como estamos no lado positivo:

Se fizéssemos para o lado negativo, iriamos encontrar .

Passo 3

Inicialmente, vamos fazer a rotação em torno do eixo . Assim, a expressão do volume vai ficar o seguinte:

Repara que temos que separar em dois casos, um para a curva do lado negativo de e um para o lado positivo de . Logo,

Elevando os termos ao quadrado:

Juntando as integrais:

Integrando:

Pra finalizar, basta aplicarmos entre os pontos e . Logo,

Portanto,

Passo 4

Agora vamos ver como fica em torno do eixo , vamos ter o seguinte:

Logo,

Integrando:

Aplicando entre esses pontos:

Portanto,

Passo 5

Pra finalizar, ele nos pede para calcular o volume se rotacionarmos em torno de . Repare que nossa figura é simétrica em relação ao eixo . Assim, podemos calcular apenas para e multiplicar por dois. Além disso, como podemos ver na figura do Passo 1, vamos integrar entre os pontos e .