Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.7 - Ex. 35
Cada limite representa a derivada de certa função em certo número . Diga quem é e em cada caso.
Passo 1
E aí! tudo certinho? 😬
Assustou com a questão? Relaxa que a gente vai resolver tim tim po tim tim, vem comigo!
O enunciado nos apresentou um limite que representa a derivada de uma função em um certo número . O limite apresentado representa o limite de uma função quando se aproxima de . Esse tipo de limite é uma forma de determinar a taxa de variação instantênea de uma função em um ponto específico .
Até aqui tudo beleza?
Passo 2
Para resolver esse exercício, vamos comparar o limite do enunciado com a fórmula da derivada em um ponto qualquer:
Essa daí é a fórmula mais adequada que temos para resolver a nossa questão, que é quando temos uma subtração no denominador, belê? Existe a outra forma de definir a derivada também (quando temos geralmente um sozinho no denominador), mas as duas são equivalentes, fechou?
Agora, vamos comparar os dois limites igualando eles:
Nesse momento, nós podemos comparar os numeradores dos dois limites para determinar quem é e quem é :
Reescrevendo como exponencial, teremos que
Essa aqui é direta! Comparando as expressões, já chegamos à conclusão de que e ! Veja só! 😉
Passo 3
Aqui, a gente vai só confirmar se a nossa resposta ta batendo, afinal, não custa nada né?
Na expressão da derivada no ponto, vamos substituir o valor de e . O único que não temos é , então vamos calculá-lo:
Substituindo na expressão:
Pronto! Conferimos a nossa resposta e ela tá certinha, uhul!
O que achou? Responde Aí! 👀
Resposta
Teremos que e .