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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 2.7 - Ex. 14

Se uma pedra for lançada pra cima no planeta Marte com uma velocidade de 10 m / s , sua altura (em metros) depois de t segundos é dada por

H = 10 t - 1,86 t 2

  1. Encontre a velocidade da pedra após 1 s .
  2. Encontre a velocidade da pedra quando t = a .
  3. Quando a pedra atinge e superfície?
  4. Com que velocidade a pedra atinge a superfície?

Passo 1

E aí! como vai? 😉

A questão nos da uma função que descreve a altura de uma pedra lançada para cima, no planeta marte, com uma velocidade de 10   m / s :

H = 10 t - 1,86 t 2

Na primeira letra ele quer que encontremos a velocidade da pedra após 1 s e na letra b no tempo t = a . Iremos então começar a resolução pelo item b, pois ao encontrarmos uma “fórmula” para a velocidade em função de a , teremos menos trabalho nos item (a) e (d). Então vamos lá.

A velocidade é a taxa de variação da distância com relação ao tempo, ou seja, é a inclinação da reta tangente da função posição. Calcularemos esta inclinação ( m ), calculando a derivada usando a definição, temos

m = lim h → 0 ⁡ f a + h - f a h

Veja só! 😎

Passo 2

Substituindo a equação dada no enunciado na fórmula acima temos:

m = lim h → 0 ⁡ 10 ⋅ a + h - 1,86 ⋅ a + h 2 - 10 a + 1,86 a 2 h

m = lim h → 0 ⁡ 10 a + 10 h - 1,86 ⋅ a 2 + 2 a h + h 2 - 10 a + 1,86 a 2 h

m = lim h → 0 ⁡ 10 h - 1,86 a 2 - 3,72 a h - 1,86 h 2 + 1,86 a 2 h

m = lim h → 0 ⁡ h 10 - 3,72 a - 1,86 h h

m = lim h → 0 ⁡ 10 - 3,72 a - 1,86 h

Calculando o limite:

m = lim h → 0 ⁡ 10 - 3,72 a - 1,86 h

m = 10 - 3,72 a - 1,86 ⋅ 0

m = 10 - 3,72 a

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Agora, retornando ao item (a), basta substituirmos a = 1 na equação encontrada no item (b). Daí:

m = 10 - 3,72 ⋅ 1

m = 6,28 m / s

Bacana, não é? 😐

Passo 4

A pedra atinge a superfície quando H = 0 . Então:

10 t - 1,86 t 2 = 0

t 10 - 1,86 t = 0

Utilizando o princípio da multiplicação por 0 , temos que:

t = 0   o u   10 - 1,86 t = 0

Então,

1,86 t = 10

t ≈ 5,38 s

Legal, né? 😉

Passo 5

A velocidade que a pedra atinge a superfície é simples de calcular, para isso, basta substituirmos o t encontrado no item (c) na equação encontrada no item (b), daí:

a = 5,38

m = 10 - 3,72 ⋅ 5,38

m = - 10,014 m / s

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😁

Resposta

  1. m = 6,28 m s
  2. m = 10 - 3,72 a
  3. t ≈ 5,38 s
  4. m = - 10,014 m / s
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44. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de c o s 5 π 6 + h - c o s 5 π 6 h Quando hé1 ;0,5 ;0,1 ;0,01 ;0,001 ;ehé- 1 ;- 0,5 ;- 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 é é . A que o quo
45. a) Use uma calculadora para tabular até quatro casas decimais, valores de t g π 4 + h - t g π 4 h Quando hé0,1 ;0,01 ;0,001 ; 0,0001 ; 0,00001e é hé - 0,1 ;- 0,01 ;- 0,001 ;- 0,0001 ; é - 0,00001
45. b) Ache lim h → 0 ⁡ t g π 4 + h - t g π 4 h , Interpretando-o como uma derivada.