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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 7.2 - Ex. 20

Calcule a integral.

int cos^2 x s e n 2 x d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

int cos^2 x s e n 2 x d x

Parece complicado?

Precisamos achar uma primitiva para a função dada, mas antes disso, lembre-se do seno do arco duplo:

s e n 2 x = 2 s e n x cos x

Usando isso na integral, você deve obter

int cos^2 x s e n 2 x d x = 2 int cos^2 x s e n x cos x d x

int cos^2 x s e n 2 x d x = 2 int cos^3 x s e n x d x

Como a derivada do cosseno é menos seno, vamos aplicar a o método da substituição.

Fazendo u = cos x , de modo que d u = - s e n x d x .

Veja só!

Passo 2

Com essa mudança de variável, temos que

int cos^2 x s e n 2 x d x = - 2 int u^3 d u

int cos^2 x s e n 2 x d x = - 2 * (u^4)/(4) + C

int cos^2 x s e n 2 x d x = - (u^4)/(2) + C

Voltando para a variável original substituindo u de volta para cos x

int cos^2 x s e n 2 x d x = - (1)/(2) cos^4 x + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

int cos^2 x s e n 2 x d x = - (1)/(2) cos^4 x + C

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