Calcule a integral.

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema temos que calcular a integral

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x

Parece complicado?

Precisamos achar uma primitiva para a função dada, mas antes disso, lembre-se do seno do arco duplo:

s e n   2 x = 2   s e n   x cos ⁡ x

Usando isso na integral, você deve obter

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = 2 ∫ cos 2 ⁡ x   s e n   x cos ⁡ x   d x

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = 2 ∫ cos 3 ⁡ x   s e n   x   d x

Como a derivada do cosseno é menos seno, vamos aplicar a o método da substituição.

Fazendo u = cos ⁡ x , de modo que d u = - s e n   x   d x .

Veja só!

Passo 2

Com essa mudança de variável, temos que

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = - 2 ∫ u 3 d u

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = - 2 ⋅ u 4 4 + C

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = - u 4 2 + C

Voltando para a variável original substituindo u de volta para cos ⁡ x

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = - 1 2 cos 4 ⁡ x + C

E aí! o que achou? Responde Aí!

Resposta

∫ cos 2 ⁡ x   s e n   2 x   d x = - 1 2 cos 4 ⁡ x + C

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