Em cada parte, classifique a função como par, ímpar ou nenhum desses casos.

(a) f(x) = x^2

(b) f(x) = x^3

(c) f(x) = |x|

(d) f(x) = x + 1

(e) f(x) = (x^5 - x) / (1 + x^2)

(f) f(x) = 2

Passo 1

Nessa questão, vamos olhar para os gráficos de cada função e procurar por simetrias, ok?

Então, antes de tudo, vamos relembrar qual a relação entre funções ímpares/pares e as simetrias!

Bem, para ser par, por definição, deve haver uma simetria em relação ao eixo y , já que:

f - x = f ( x )

E, para ser ímpar, também por definição, deve haver uma simetria em relação à origem, certo? Isso porque:

f - x = - f ( x )

E, para ser simétrico em relação à alguma coisa, o gráfico deve se refletir em relação à essa coisa. Como um espelho mesmo! Veremos melhor na prática.

Passo 2

(a) Agora, vamos olhar para o gráfico de f x = x 2 e identificar alguma simetria:

Consegue ver que temos um mesmo valor para a função para um x positivo e para esse mesmo x , só que negativo? Nesse caso, podemos ver que a parte da função em x positivo é o “espelho” da parte com x negativo, uma é a reflexão da outra!!

O que acontece à direita de y se repete à esquerda do eixo y .

Como temos uma reflexão pelo eixo y :

f - x = f ( x )

E, assim, essa é uma função par.

Passo 3

(b) Vamos olhar para o gráfico f x = x 3 e identificar alguma simetria:

Consegue ver que temos um valor para a função para um x positivo e o oposto desse valor para um mesmo x , só que negativo? Nesse caso, uma parte da função se torna o espelho de outra parte, através da origem!! Uma parte da função é gerada espelhando a outra pela origem!

Como temos uma reflexão pela origem:

f - x = - f ( x )

E, assim, essa é uma função ímpar.

Passo 4

(c) Vamos olhar para o gráfico f x = x e identificar alguma simetria:

Consegue ver que temos um mesmo valor para a função para um x positivo e para esse mesmo x , só que negativo? Nesse caso, podemos ver que a parte da função em x positivo é o “espelho” da parte com x negativo, uma é a reflexão da outra!!

O que acontece à direita de y se repete à esquerda do eixo y .

Como temos uma reflexão pelo eixo y :

f - x = f ( x )

E, assim, essa é uma função par.

Passo 5

(d) Vamos olhar para o gráfico f x = x + 1 e identificar alguma simetria:

Bom, temos alguma parte espelhada? Pela origem, não, pois só temos um lado da origem com valores. Por x , também não, pois a parte em cima do x não se repete abaixo dele. E por y , mais uma vez não temos, pois a parte à direita não é igual à parte pela esquerda de y .

Nesse caso, a função não tem nenhuma simetria!

Passo 6

(e) Vamos olhar para o gráfico f x = x 5 - x 1 + x 2 e identificar alguma simetria:

Consegue ver que temos um valor para a função para um x positivo e o oposto desse valor para um mesmo x , só que negativo? Nesse caso, uma parte da função se torna o espelho de outra parte, através da origem!! Uma parte da função é gerada espelhando a outra pela origem!

Como temos uma reflexão pela origem:

f - x = - f ( x )

E, assim, essa é uma função ímpar.

Passo 7

(f) Vamos olhar para o gráfico f x = 2 e identificar alguma simetria:

Consegue ver que temos um mesmo valor para a função para um x positivo e para esse mesmo x , só que negativo? Nesse caso, podemos ver que a parte da função em x positivo é o “espelho” da parte com x negativo, uma é a reflexão da outra!!

O que acontece à direita de y se repete à esquerda do eixo y .

Como temos uma reflexão pelo eixo y :

f - x = f ( x )

E, assim, essa é uma função par.

Resposta

(a) Par.

(b) ímpar

(c) Par

(d) Nenhum dos casos

(e) ímpar

(f) Par

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