Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 7.Revisão - Ex. 65

Calcule a integral.

int_4^8 (sqrt(x - 4))/(x) d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa por substituição. Vamos deixar os intervalos por enquanto e fazer indefinida. Façamos:

u = sqrt(x - 4) -> x = u^2 + 4

d u = (1)/(2 sqrt(x - 4)) d x

d x = 2 sqrt(x - 4 ) d u

Passo 2

Vamos substituindo agora:

int (u)/(x) ( 2 sqrt(x - 4) ) d u

Ok, agora a gente substitui tudo por u :

int (u)/(u^2 + 4) 2 (u) d u

int (2 u^2)/(u^2 + 4) d u

2 int (u^2)/(u^2 + 4) d u

Beleza, agora a gente fazer umas mágicas pra resolver isso. Se liga:

Passo 3

Vamos reescrever ali em cima como:

u^2 + 4 - 4

Veja que isso não muda em nada o valor da expressão:

2 int (u^2 + 4 - 4)/(u^2 + 4) d u

Aí a gente pode fazer isso aqui:

2 int (u^2 + 4)/(u^2 + 4) - (4)/(u^2 + 4) d u

2 int 1 - (4)/(u^2 + 4) d u

Passo 4

Bom, agora chegamos em integrais comuns, é só integrar e vamos ter:

2 [u - 2 a r c t g ((u)/(2))]

Ótimo! Agora a gente vai voltar pra nossa variável x :

= 2 sqrt(x - 4) - 4 a r c t g (sqrt(x - 4))/(2)

E por último, mas não menos importante, vamos aplicar os limites de integração:

[2 sqrt(x - 4) - 4 a r c t g (sqrt(x - 4))/(2)]_4^8

2 sqrt(4) - 4 a r c t g (sqrt(4))/(2) - 2 sqrt(0) + 4 a r c t g 0

= 4 - 4 ((pi)/(4))

= 4 - pi

Prontinho! Acabamos por aqui😊

Resposta

4 - pi

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre os valores de p para os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores de p . ∫ 0 1 x p ln ⁡ x d x
Os astrônomos usam uma técnica chamada estereografia estelar para determinar a densidade das estrelas em um aglomerado estelar a partir da densidade (bidimensional) observada, que pode ser analisada a
A integral ∫ 2 ∞ 1 x x 2 - 4 d x é imprópria por duas razões: o intervalo 0 , ∞ é infinito e o integrando tem uma descontinuidade infinita em 0 . Calcule-a expressando-a como uma soma de integrais imp
Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente. ∫ 0 π sen 2 ⁡ x x d x
A integral ∫ 0 ∞ 1 x 1 + x d x é imprópria por duas razões: o intervalo 0 , ∞ é infinito e o integrando tem uma descontinuidade infinita em 0 . Calcule-a expressando-a como uma soma de integrais impró