Calcule a integral.

∫ 4 8 x - 4 x   d x

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos resolver essa por substituição. Vamos deixar os intervalos por enquanto e fazer indefinida. Façamos:

u = x - 4 → x = u 2 + 4

d u = 1 2 x - 4 d x

d x = 2 x - 4     d u

Passo 2

Vamos substituindo agora:

∫ u x   ( 2 x - 4 )   d u

Ok, agora a gente substitui tudo por u :

∫ u u 2 + 4   2 u   d u

∫ 2 u 2 u 2 + 4   d u

2 ∫ u 2 u 2 + 4   d u

Beleza, agora a gente fazer umas mágicas pra resolver isso. Se liga:

Passo 3

Vamos reescrever ali em cima como:

u 2 + 4 - 4

Veja que isso não muda em nada o valor da expressão:

2 ∫ u 2 + 4 - 4 u 2 + 4   d u

Aí a gente pode fazer isso aqui:

2 ∫ u 2 + 4 u 2 + 4 - 4 u 2 + 4   d u

2 ∫ 1 - 4 u 2 + 4   d u

Passo 4

Bom, agora chegamos em integrais comuns, é só integrar e vamos ter:

2   u - 2   a r c t g   u 2

Ótimo! Agora a gente vai voltar pra nossa variável x :

= 2 x - 4 - 4   a r c t g x - 4 2

E por último, mas não menos importante, vamos aplicar os limites de integração:

2 x - 4 - 4   a r c t g x - 4 2 4 8

2 4 - 4 a r c t g 4 2 - 2 0 + 4 a r c t g   0

= 4 - 4 π 4

= 4 - π

Prontinho! Acabamos por aqui😊

Resposta

4 - π

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