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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 40

Em cada parte, explique o que acontece se aplicarmos o Método de Newton a uma função f quando a condição dada é satisfeita para algum valor de n .

  1. f x n = 0
  2. x n + 1 = x n
  3. x n + 2 = x n ≠ x n + 1

Passo 1

E aí, tudo joia?

Bom, o método de Newton é o seguinte:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos ver então o que acontece em cada um desses casos aí...

  1. f x n = 0

    2. Substituindo isso no método de Newton, a gente tem:

    x n + 1 = x n - 0 f ' x n

    x n + 1 = x n

    Ou seja, nesse caso o termo sucessor vai ser igual ao seu antecessor.

    Passo 2

  2. Vamos ver o que acontece se x n + 1 = x n :

    3. x n + 1 = x n + 1 - f x n f ' x n

    - f x n f ' x n = 0

    A única forma disso acontecer é f x n = 0 . Ou seja, acabamos provando a recíproca do item a .

    Passo 3

  3. E agora:

x n + 2 = x n ≠ x n + 1

Vamos escrever as relações de x n + 2   e   x n + 1 :

x n + 2 = x n + 1 - f x n + 1 f ' x n + 1 = x n

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos substituir x n + 1 na expressão de x n + 2 :

x n + 2 = x n - f x n f ' x n - f x n + 1 f ' x n + 1 = x n

x n + 2 = - f x n f ' x n - f x n + 1 f ' x n + 1 = 0

E pronto, nesse caso x n + 2 será zero, assim como - f x n f ' x n - f x n + 1 f ' x n + 1 .

E acabamos por aqui😉

Resposta

  1. x n + 1 = x n
  2. f x n = 0
  3. x n + 2 = 0
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