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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 18

Em cada parte, use a informação dada para encontrar a posição, a velocidade, a velocidade escalar e a aceleração no instante t = 1 .

  1. v = cos ⁡ 1 3   π t ; s = 0   q u a n d o   t = 3 2 .
  2. a = 4 e 2 t - 2 ,   s = 1 e 2 e   v = 2 e 2 - 3   q u a n d o   t = 0

Passo 1

Fala aí, tudo joia?

Vamos lembrar que:

s t = ∫ v t d t

v t = ∫ a t   d t

  1. Vamos começar encontrando a posição na letra ( a ) então:

    2. s t = ∫ cos ⁡ 1 3 π t   d t = 3   s e n π x 3 π + C

    Passo 2

    Aí a gente tem a informação que s 3 2 = 0 , certo? A gente usa isso pra achar esse C ...

    s 3 2 =   3   s e n π ( 3 2 )   3 π + C

    3   s e n   2 π π + C = 0

    C = 0

    Achamos nossa s ( t ) então, que é:

    s t = 3   s e n π x 3 π

    Passo 3

    Antes da gente ir de fato pro que a questão tá pedindo, vamos achar a função da aceleração. Como a gente já sabe, se a gente tem a função da velocidade, é só a gente derivar pra achar a função da aceleração. Então...

    v ' t = a t = - s e n   1 3 π t 1 3 π  

    Beleza, essa é a função da aceleração.

    Como o enunciado pede tudo com t = 1 , a gente vai fazer isso pra posição, pra velocidade e pra aceleração.

    Passo 4

    No instante t = 1 a gente tem:

  • Posição: s 1 = 3   s e n   π 3 π = 3 3 2 π
  • Velocidade: v 1 = cos ⁡ 1 π 3 = 1 2
  • Velocidade escalar: v = 1 2
  • Aceleração: a 1 =   - s e n   1 3 π 1 3 π =   - 3 π 6

E pronto! Aqui já foi😉

Passo 2

Agora a gente tem que fazer isso tuuudo pra letra b ...

Mas a gente já sabe como faz, então respira e bora!

  • Nessa a gente tem a função da aceleração, então a gente precisa integrar pra achar a função da velocidade.

    • v t = ∫ 4 e 2 t - 2   d t =   2 e 2 t - 2 + C

    E aí pra achar o valor desse C a gente tem que usar a informação que v 0 = 2 e 2 - 3 :

    v 0 = 2 e 2 0 - 2 + C = 2 e 2 - 3  

    2 e - 2 + C = 2 e 2 - 3

    C = - 3

    Nossa função velocidade então é:

    v t = 2 e 2 t - 2 - 3

    Passo 3

    Pra achar a posição agora a gente integra a função que a gente achou da velocidade:

    s t = ∫ 2 e 2 t - 2 - 3   d t =   e 2 t - 2 - 3 t + K

    E aí pra sumir esse K a gente vai usar que s 0 = 1 e 2 .

    s 0 =   e 2 0 - 2 - 3 0 + K = 1 e 2

    e - 2 + K = 1 e 2  

    K = 0

    Nossa função posição então é:

    s t = e 2 t - 2 - 3 t

    Beleza, continuemos...

    Passo 4

    Por último e mais importante, vamos achar os valores da posição, velocidade e aceleração no instante t = 1 :

    • Posição: s 1 =   e 2 1 - 2 - 3 1 = e 0 - 3 = 1 - 3 =   - 2
    • Velocidade: v 1 =   2 e 2 1 - 2 - 3 = 2 e 0 - 3 =   - 1
    • Velocidade escalar: v = - 1 = 1
    • Aceleração: a 1 = 4   e 2 1 - 2 = 4 e 0 = 4

    E acabamos galera, é só isso (tudo) hahaha... 😎

    Resposta

    1. Posição: 3 3 2 π .

      2. Velocidade: 1 2

      Velocidade escalar: v = 1 2

      Aceleração: - 3 π 6

    2. Posição: - 2

    Velocidade: - 1

    Velocidade escalar: v = 1

    Aceleração: 4

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