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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 20

Em cada problema de 19 a 22, use a expansão em autofunções para encontrar a solução do problema de contorno dado.

20. u t = u x x + e - t ,   u x 0 , t = 0 ,   u x 1 , t + u 1 , t = 0 ,   u x ,   0 = 1 - x ;

Veja a seção 11.2, problemas 10 e 12.

Passo 1

A equação diferencial parcial homogênea associada é:

u t = u x x ,     0 < x < 1  

u x 0 , t = 0 ,   u x 1 , t + u 1 , t = 0   e   u x , 0 = 1 - x .

Aplicando o médodo de separação de variáveis nós obtemos o utovalor

X ' ' + λ X = 0

Com as condições de contorno:

X ' 0 = 0   e   X ' 1 + X 1 = 0

Isso foi mostrado no exercício 4 da seção 11.2. Ainda vimos também que a autofunção era:

ϕ n x = 2 c o s λ n x 1 + s e n 2 λ n

onde c o s λ n - λ n s e n λ n = 0

Passo 2

Assumimos então que a solução será dada por

u x , t = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n x

Substituindo na equação diferencial dada

∑ n = 1 ∞ b n ' t ϕ n x = ∑ n = 1 ∞ b n t ϕ n ' ' x + e - t

∑ n = 1 ∞ b ' n t λ n b n t ϕ n x = e - t

1 = ∑ n = 1 ∞ 2 s e n   λ n λ n 1 + s e n 2 λ n ϕ n x

Logo

e - t = ∑ n = 1 ∞ β n e - t ϕ n x

Em que β n = 2 s e n λ n λ n 1 + s e n 2 λ n

Passo 3

Combinando esses resultados

∑ n = 1 ∞ b ' n t λ n b n t - β n e - t ϕ n x = 0

Como o resultado da equação é váido para 0 < x < 1 , segue que:

b n ' t + λ n b n t = β n e - t ,           n = 1 ,   2 ,   3 …

Inicialmente, para resolver uma sequencia de EDOs nós estabelecemos as condições iniciais. Essa obtemos a partir da expansão

u x , 0 = 1 - x = ∑ n = 1 ∞ α n ϕ n x

Onde

α n = 2 1 - c o s λ n λ n 1 + s e n 2 λ n

Logo temos que b n 0 = α n

Passo 4

Então nossa solução pra edo de primeira ordem será

b n t = β n e - t - e - λ n t λ n - 1 + α n e - λ n t ,   n = 1 ,   2 …

Logo, a solução do problema do valor de contorno será:

u x , t = ∑ n = 1 ∞ β n e - t - e - λ n t λ n - 1 + α n e - λ n t ϕ n x

Resposta

u x , t = ∑ n = 1 ∞ β n e - t - e - λ n t λ n - 1 + α n e - λ n t ϕ n x

α n = 2 1 - c o s λ n λ n 1 + s e n 2 λ n

β n = 2 s e n λ n λ n 1 + s e n 2 λ n

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