Considere o problema

y'' + p(x)y' + q(x)y = 0, y(0) = a, y(1) = b.

Suponha que y = u + v , em que v é qualquer função duas vezes diferenciável satisfazendo as condições de contorno (mas não necessariamente a equação diferencial). Mostre que u é uma solução do problema

u'' + p(x)u' + q(x)u = g(x), u(0) = 0, u(1) = 0

em que g(x) = -[ v'' + p(x)v' + q(x)v ] e é conhecida, uma vez escolhida v . Assim, a não homogeneidade pode ser transferida das condições de contorno para a equação diferencial. Encontre uma função v para esse problema.

Passo 1

Fazendo y x = u x + v ( x ) , a substituição fica

u ' ' + v ' ' + p x u ' + v ' + q x u + v = u ' ' + p x u ' + q x u + v ' ' + p x v ' + q x v

Como o lado esquerdo da equação dá zero,

u ' ' + p x u ' + q x u = - v ' ' + p x v ' + q x v

Passo 2

Ainde temos que:

u 0 = y 0 - v 0 = 0

u 1 = y 1 - v 1 = 0

A função mais simples entçai será v x = b - a x + a . Neste caso, g x = a - b p x + a - b x q x - a q ( x )

Resposta

v x = b - a x + a

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