Nos problemas de 6 a 9, determine uma expansão formal em série de autofunções para a solução do problema dado. Suponha que f satisfaz as condições do Teorema 11.3.1 . Diga para quais valores de mu asolução existe.

6. y'' + μ y = -f(x), y'(0) = 0, y'(1) + y(1) = 0

Passo 1

Observe que a equação diferencia pode ser reescrita como

- y = μ y + f ( x )

A autofunção é

ϕ n x = 2 cos ⁡ λ n x 1 + s e n 2 λ n    

O autovalor satisfaz cos ⁡ λ n - λ n s e n λ n = 0 .

Passo 2

Baseado no Teorema 11.3 . 1 , a solução é dada por:

y x = 2   ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ λ n x λ n - μ 1 + s e n 2 λ n

desde que μ ≠ λ n .

Passo 3

Vamos ter com isso então nosso c n   sendo

c n = ∫ 0 1 f x ϕ n x   d x

c n = 2 1 + s e n 2 λ n ∫ 0 1 f x c o s λ n x   d x

Resposta

y x = 2   ∑ n = 1 ∞ c n cos ⁡ λ n x λ n - μ 1 + s e n 2 λ n

c n = 2 1 + s e n 2 λ n ∫ 0 1 f x c o s λ n x   d x

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