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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 11.3 - Ex. 15

Seja L um operador diferencial de segunda ordem. Mostre que a solução y = ϕ x do problema

L y = f x ,

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = a ,   β 1 y 1 + β 2 y ' 1 = b

pode ser escrita como y = u + v ,   onde u = ϕ 1 x e v = ϕ 2 ( x ) são soluções dos problemas

L u = 0  

α 1 u 0 + α - 2   u ' 0 = a ,   β 1 v 1 + β 2 v ' 1 = b

e

L v = f x

α 1 v 0 + α 2 v ' 0 = 0 ,   β v 1 + β 2 v ' 1 = 0

respectivamente.

Passo 1

Façamos y x = ϕ 1 x + π 2 x

Isso segue que:

L y = L ϕ 1 + L ϕ 2 = f x

Então:

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = α 1 ϕ 1 0 + α 1 ϕ 2 0 + α 2 ϕ ' 0 + α 2 ϕ 2 ' 0

= α 2 ϕ 1 0 + α 2 ϕ 1 ' 0 α 1 ϕ 2 0 + α 2 ϕ 2 ' 0

= α

O mesmo ocorrerá sore as condições de contorno em x = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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