Seja L um operador diferencial de segunda ordem. Mostre que a solução y = phi(x) do problema

L[y] = f(x),

α1y(0) + α2y'(0) = a, β1y(1) + β2y'(1) = b

pode ser escrita como y = u + v, onde u = ϕ1(x) e v = ϕ₂(x) são soluções dos problemas

L[u] = 0

α1u(0) + α-2u'(0) = a, β1v(1) + β2v'(1) = b

e

L[v] = f(x)

α1v(0) + α2v'(0) = 0, βv(1) + β2v'(1) = 0

respectivamente.

Passo 1

Façamos y x = ϕ 1 x + π 2 x

Isso segue que:

L y = L ϕ 1 + L ϕ 2 = f x

Então:

α 1 y 0 + α 2 y ' 0 = α 1 ϕ 1 0 + α 1 ϕ 2 0 + α 2 ϕ ' 0 + α 2 ϕ 2 ' 0

= α 2 ϕ 1 0 + α 2 ϕ 1 ' 0 α 1 ϕ 2 0 + α 2 ϕ 2 ' 0

= α

O mesmo ocorrerá sore as condições de contorno em x = 1 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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