Considere novamente o sistema

x ' = A x = 1 - 1 1 3 x

que discutimos no Exemplo 2. Vimos que A tem um autovalor duplo r1 = r2 = 2 com um único autovetor independente xi^1 = (1, -1)^T ou qualquer múltiplo dele. Então uma solução do sistema.(i) é x^1(t) = xi^1 \* e^(2t) e uma segunda solução independente tem a forma

A entrada fornecida para a fórmula MathML está vazia. Por favor, forneça uma fórmula MathML válida para que eu possa convertê-la conforme as diretrizes dadas. x^(2)(t) = t \* e^(2t) + e^(2t)

em que xi e eta satisfazem

(A-2I)ξ = 0, (A-2I)η = ξ

No texto, resolvemos a primeira equação para xi e depois a segunda para eta . Aqui pedimos que

você resolva em ordem inversa.

(a) Mostre que eta satisfaz ((A - 2I))^2 * eta = 0 .

(b) Mostre que (A - 2I)^2 = 0 . Logo, o autovetor generalizado eta pode ser escolhido

arbitrariamente, exceto que tem que ser independente de xi^1 .

(c) Seja η = (0, -1)^T . Determine xi da segunda das equações em (ii) e note que

xi = (1, -1)^T = xi^(1) Essa escolha de eta reproduz a solução encontrada no Exemplo 2.

(d) Sejaη = (1, 0)^T e determine o vetor correspondente xi .

(e) Sejaeta = (k1, k2) , em quek1 ek2 são números arbitrários. Determinexi . Qual é a relação entre este último vetor e o autovetor w^(1) ?

Passo 1

Temos que os autovalores associados a raízes caraterística são:

r 1 , 2 = 2

E seu autovetor associado ξ 1   =   1 ,   - 1 T

Vamos lembra que solução geral é a seguinte formula:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

Em que x 1 = ξ 1 e 2 t e x 2 = ξ 2 t e 2 t + η e 2 t .

Utilizando a relação que temos A - 2 I ξ = 0 ,           A - 2 I η = ξ

a)

A - 2 I η = ξ

Portanto:

A - 2 I 2 η = A - 2 I ξ = 0

b)

A - 2 I 2 = 1 - 1 1 3 - 2 1 0 0 1 2 = - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 1

A - 2 I 2 = 0

c) tendo η = 0 - 1 , retirando da relação A - 2 I η = ξ , temos:

A - 2 I η = ξ = - 1 - 1 1 1 0 - 1

A - 2 I η = ξ = 1 - 1

d) temos η = 1 0 ,

A - 2 I η = ξ = - 1 - 1 1 1 1 0 = - 1 1

e)tendo η = k 1 k 2 , k 2 + k 1 = a l g u m   n ú m e r o

A - 2 I η = ξ = - 1 - 1 1 1 k 1 k 2 = k 1 + k 2 - 1 1

Clara mente temos ξ = ξ 1 que é um múltiplo de - 1 1 .

Resposta

a) A - 2 I 2 η = A - 2 I ξ = 0

b) A - 2 I 2 = 0

c) A - 2 I η = ξ = 1 - 1

d)

Clara mente temos ξ = ξ 1 que é um múltiplo de - 1 1 .

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