Considere novamente o sistema x ' = A x = 1 - 1 1 3 x que discutimos no Exemplo 2. Vimos que A tem um autovalor duplo r 1=r 2=2 com um único autovetor independente ξ 1=1 ,- 1 T ou qualquer múltiplo dele. Então uma solução do sistema.( i ) é x 1 ( t )=ξ 1 e 2 t e uma segunda solução independente tem a forma x ( 2 ) ( t )=t e 2 t+e 2 t em que ξ e η satisfazem A - 2 I ξ = 0 ,A - 2 I η = ξ No texto, resolvemos a primeira equação para ξ e depois a segunda para η . Aqui pedimos quevocê resolva em ordem inversa.(a) Mostre que η satisfaz A–2 I 2 η=0 .(b) Mostre que A–2 I 2=0 . Logo, o autovetor generalizado η pode ser escolhidoarbitrariamente, exceto que tem que ser independente de ξ 1 .(c) Seja η=0 ,- 1 T . Determine ξ da segunda das equações em (ii) e note que ξ=1 ,- 1 T = ξ ( 1 ) . Essa escolha de η reproduz a solução encontrada no Exemplo 2.(d) Sejaη=1 ,0 T e determine o vetor correspondente ξ .(e) Sejaη=( k 1 ,k 2 ) , em quek 1 ek 2 são números arbitrários. Determineξ . Qual é a relação entre este último vetor e o autovetor w ( 1 ) ?

a) A - 2 I 2 η = A - 2 I ξ = 0 b) A - 2 I 2 = 0 c) A - 2 I η = ξ = 1 - 1 d) Clara mente temos ξ = ξ 1 que é um múltiplo de - 1 1 .

Enunciado

Temos que os autovalores associados a raízes caraterística são:

E seu autovetor associado

Vamos lembra que solução geral é a seguinte formula:

Em que e .

Utilizando a relação que temos

Portanto:

c) tendo , retirando da relação temos:

d) temos ,

e)tendo ,

Clara mente temos que é um múltiplo de .

Clara mente temos que é um múltiplo de .