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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 17

Considere novamente o sistema

x ' = A x = 1 - 1 1 3 x

que discutimos no Exemplo 2. Vimos que A tem um autovalor duplo r 1   =   r 2   =   2 com um único autovetor independente ξ 1   =   1 ,   - 1 T ou qualquer múltiplo dele. Então uma solução do sistema.   ( i ) é x 1 ( t )   =   ξ 1 e 2 t   e uma segunda solução independente tem a forma

x ( 2 ) ( t )   =   t e 2 t   +   e 2 t

em que ξ e η satisfazem

A - 2 I ξ = 0 ,           A - 2 I η = ξ

No texto, resolvemos a primeira equação para ξ e depois a segunda para η . Aqui pedimos que

você resolva em ordem inversa.

(a) Mostre que η satisfaz A   –   2 I 2 η   =   0 .

(b) Mostre que A   –   2 I 2   =   0 . Logo, o autovetor generalizado η pode ser escolhido

arbitrariamente, exceto que tem que ser independente de ξ 1 .

(c) Seja η   =   0 ,   - 1 T . Determine ξ da segunda das equações em (ii) e note que

ξ   =   1 ,   - 1 T = ξ ( 1 ) . Essa escolha de η reproduz a solução encontrada no Exemplo 2.

(d) Seja   η   =   1 ,   0 T e determine o vetor correspondente ξ .

(e) Seja   η   =   ( k 1 ,   k 2 ) , em que   k 1 e   k 2 são números arbitrários. Determine   ξ . Qual é a relação entre este último vetor e o autovetor w ( 1 ) ?

Passo 1

Temos que os autovalores associados a raízes caraterística são:

r 1 , 2 = 2

E seu autovetor associado ξ 1   =   1 ,   - 1 T

Vamos lembra que solução geral é a seguinte formula:

x = c 1 x 1 + c 2 x 2

Em que x 1 = ξ 1 e 2 t e x 2 = ξ 2 t e 2 t + η e 2 t .

Utilizando a relação que temos A - 2 I ξ = 0 ,           A - 2 I η = ξ

a)

A - 2 I η = ξ

Portanto:

A - 2 I 2 η = A - 2 I ξ = 0

b)

A - 2 I 2 = 1 - 1 1 3 - 2 1 0 0 1 2 = - 1 - 1 1 1 - 1 - 1 1 1

A - 2 I 2 = 0

c) tendo η = 0 - 1 , retirando da relação A - 2 I η = ξ , temos:

A - 2 I η = ξ = - 1 - 1 1 1 0 - 1

A - 2 I η = ξ = 1 - 1

d) temos η = 1 0 ,

A - 2 I η = ξ = - 1 - 1 1 1 1 0 = - 1 1

e)tendo η = k 1 k 2 , k 2 + k 1 = a l g u m   n ú m e r o

A - 2 I η = ξ = - 1 - 1 1 1 k 1 k 2 = k 1 + k 2 - 1 1

Clara mente temos ξ = ξ 1 que é um múltiplo de - 1 1 .

Resposta

a) A - 2 I 2 η = A - 2 I ξ = 0

b) A - 2 I 2 = 0

c) A - 2 I η = ξ = 1 - 1

d)

Clara mente temos ξ = ξ 1 que é um múltiplo de - 1 1 .

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