Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 19b
Considere o sistema
b) Para encontrar uma terceira solução, suponha que ; mostre que, então, e têm que satisfazer
Passo 1
b) para desenvolvermo esta questão, note que a solução de ira possuir 3 autovalores associados a um autovetor múltiplo dos autovalores.
Logo com está afirmação sabemos que a formula geral é:
Passo 2
Igualando a equação geral a temos:
Reorganizando os termos para isolarmos , temos:
Como estamos tratando com uma equação diferencial matricial, o número 1 é equivalente ao matriz fundamental. Portanto, temos que:
Caso assumirmos como vetor próprio, teremos:
Resposta
b)
Caso assumirmos como vetor próprio, teremos:
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Mostre que Φ t =Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 5 - 3 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 5 1 - 2 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 1 3 - 2 x
A matriz fundamental Φ ( t ) para o sistema (3) foi encontrada no Exemplo 2. Mostre que Φ ( t ) Φ ( s )=Φ ( t+s ) multiplicando Φ ( t ) e Φ ( s ) .