Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eq.

(22) no texto. Suponha que .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma . Determine a matriz de coeficientes .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4.

(e) Considere as condições iniciais . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Qual é o período do movimento nesse caso? Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y1y3 e y2y4. Certifique-se de que você compreende como as trajetórias são percorridas durante um período completo.

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Vamos reduzir a matriz para encontramos seu determinante:

Com a matriz escalonada basta fazer o produto da diagonal principal que teremos o determinante:

Resolvendo esta equação temos que os autovalores

Agora que possuímos os autovalores vamos determinar os autovetores para cada um deles associados.

Assumindo que:

Aplicando para temos:

Reduzindo a matriz temos:

Resumindo o sistema para:

Resultando nos seguintes autovetores:

Aplicando para temos:

E lá vamos nós reduzir a matriz novamente:

Reduzindo o sistema em:

Para satisfazer esta equação temos que , , e

E o autovetor correspondente a é:

E o autovetor associado a :