Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.1 - Ex. 5c
Encontre a transformada de Laplace de cada uma das funções a seguir:
Em que n é um inteiro positivo.
Passo 1
Sabemos de nossa querida e amada teoria da transformada de Laplace que podemos calcular qualquer transformada de qualquer função de () desse jeito aqui:
No nosso caso, queremos calcular a transformada da função :
Onde é um número positivo.
Para facilitar o entendimento, vamos considerar como , já que calculamos os dois últimos ( e ), depois a gente tenta generalizar para um qualquer, beleza?
Então vamos de fato resolver:
Passo 2
Podemos resolver então essa integral aqui
Usando integração por partes!
Derivando o e integrando o ...
SHOW!
De acordo com as regras de integração por partes...
Então, no nosso caso...
Perceba que surgiu outra integral aí que teremos que fazer também por integração por partes! Por sorte, já calculamos essa integral na letra desse exercício onde obtivemos isso aqui:
Então...
Integral calculada! Que tal voltarmos para a integral que de fato temos que resolver?
Ou seja, a nossa integral definida imprópria . Partiu?
Passo 3
Como sabemos de cálculos anteriores, integração imprópria pode se resolver trocando o infinito por um limite:
Agora, essa integral definida com pode ser obtida pela substituição dos limites:
Substituindo esse resultado no limite agora...
Se então for um número qualquer maior que zero (), então, quando for para o infinito, a exponencial explode e vira um número muito grante, levando as duas frações a . Então...
Concluímos então que a transformada de Laplace de será:
Com .
Passo 4
Beleza! Então, vejamos como vai comportar a solução para um qualquer. Para , e obtivemos:
Para , provavelmente...
Para um qualquer, então...