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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 27

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

27. 12 y 4 + 31 y ' ' ' + 75 y ' ' + 37 y ' + 5 y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

12 r 4 + 31 r 3 + 75 r 2 + 37 r + 5 = 0

Essa equação característica é um pouquinho mais chata, pois infelizmente não é fácil de descobrir as raízes dela por Briot Rufini . Como o próprio Boyce sabe disso, ele nos sugeriu nessa questão que utilizemos um recurso computacional. Então usando aqui o WolframAlpha para resolver essa equação, obteremos as raízes reais...

r 1 = - 1 3

r 2 = - 1 4

E as raízes complexas conjugadas:

r 3 = - 1 - 2 i

r 4 = - 1 + 2 i

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = - 1 3 como ele é real...

    • y 1 = e r 1 t = e - 1 3 t

  • Para r 2 = - 1 4 como ele é real...

    • y 2 = e r 2 t = e - 1 4 t

  • Para r 3 = - 1 + 2 i como ele é complexo da forma a + b i ...

    • y 3 = e a t sin ⁡ b t = e - t sin ⁡ 2 t

  • Para r 4 = - 1 - 2 i como ele é complexo conjugado da raiz de cima...

y 4 = e a t cos ⁡ b t = e - t cos ⁡ 2 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3 + c 4 y 4   →

y = c 1 e - 1 3 t + c 2 e - 1 4 t + c 3 e - t sin ⁡ 2 t + c 4 e - t cos ⁡ 2 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e - 1 3 t + c 2 e - 1 4 t + c 3 e - t sin ⁡ 2 t + c 4 e - t cos ⁡ 2 t

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