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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 4.2 - Ex. 23

Em cada um dos problemas de 11 a 28 , encontre a solução geral da equação diferencial dada.

23. y ' ' ' - 5 y ' ' + 3 y ' + y = 0

Passo 1

Para começar esse problema, podemos comparar a EDO que temos que resolver com a equação característica...

r 3 - 5 r 2 + 3 r + 1 = 0

Observe que 1 é raiz dessa equação:

1 3 - 5 1 2 + 3 1 + 1 = 0   →

0 = 0

Então podemos fatorar usando Briot Rufini:

Onde os coeficientes em vermelho são os coeficientes da equação de grau 3 que queremos reduzir e 1 é o sua raiz. Então, aplicando o método...

Então os coeficientes em azul são os coeficientes da equação reduzida:

r 2 - 4 r - 1 = 0

Então...

r 3 - 5 r 2 + 3 r + 1 = 0     →

r - 1 r 2 - 4 r - 1 = 0

A primeira raiz que tiramos daí é a raiz que já havíamos encontrado para aplicar...

r 1 = 1

E para as demais:

r 2 - 4 r - 1 = 0

Usando Báskara...

r = 4 ± 16 + 4 2     →

r = 4 ± 20 2     →

r = 4 ± 2 5 2     →

Logo, as outras duas raízes que tiramos daí é...

r 2 = 2 + 5           e               r 3 = 2 - 5

Passo 2

Beleza, então podemos montar a solução dessa EDO de acordo com os valores de r . Vamos nessa?

Vamos começar montando as soluções fundamentais para dada r :

  • Para r 1 = 1 como ele é real...

    • y 1 = e r 1 t = e t

  • Para r 2 = 2 + 5 , por ser real e único...

    • y 2 = e r 2 t = e 2 + 5 t

  • Para r 3 = 2 - 5 , por ser real e único...

y 3 = e 2 - 5 t

A solução geral então pode ser dada por...

y = c 1 y 1 + c 2 y 2 + c 3 y 3   →

y = c 1 e t + c 2 e 2 + 5 t + c 3 e 2 - 5 t

Onde c ’s representam as constantes que dependem das condições iniciais!

Resposta

y = c 1 e t + c 2 e 2 + 5 t + c 3 e 2 - 5 t

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