Enunciado

Em cada um dos problemas de 12 a 15 , use o método do Problema 11 para colocar a equação dada na forma p x y ' ' + q x y = 0

( 1 - x 2 ) y ' ' - x y ' + λ 2 y = 0   ( e q u a ç ã o   d e   C h e b y s h e v )

Passo 1

Pela equação de Chebyshev vemos que os coeficientes são iguais a:

P x = 1 - x 2

Q x = - x

R x = λ 2

Portanto o termo multiplicador μ será:

μ x = 1 1 - x 2 e ∫ 0 x - x 1 - x 2 d x

Essa integral será igual a:

∫ 0 x - x 1 - x 2 d x

Aplicando a substituição 1 - x 2 = u nós teremos d u = - 2 x   d x , portanto a integral será:

∫ d u 2 u = ln ⁡ u 2  

Ou seja, voltando para o domínio de x nós teremos:

ln ⁡ 1 - x 2 2

Passo 2

Então o termo multiplicador fica:

μ x = 1 1 - x 2 e ln ⁡ ( 1 - x 2 ) 2

μ x = e ln ⁡ ( 1 - x 2 ) 1 2 1 - x 2

μ x = 1 - x 2 1 - x 2

μ x = 1 1 - x 2

Passo 3

Deixando a outra forma de escrever a equação de Chebyshev da seguinte forma:

1 - x 2 1 - x 2 y ' ' + λ 2 1 - x 2 y = 0

1 - x 2 y ' ' + λ 2 1 - x 2 y = 0

Resposta

μ x = 1 1 - x 2

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