As equações diferenciais nos Problemas 19 e 20 diferem das encontradas nos problemas antecedentes, uma vez que o parâmetro lambda multiplica o termo contendo y' , além do que contém y . Nesse problema, determine os autovalores reais e as autofunções correspondentes.

19. y'' + y' + λ (y' + y) = 0, y' (0) = 0, y(1) = 0.

Passo 1

Primeiramente vamos reescrever a equação diferencial como

  y ' ' + y ' 1 + λ + λ y = 0

Que é uma EDO de segunda ordem. A equação característica é:

r 2 + 1 + λ r + λ = 0

Logo as raízes sçao r 1 = - 1   e   r 2 = - λ .

Passo 2

Para λ ≠ 1 ,   a solução geral é

y = c 1 e - x + c 2 e - λ x

Impondo as condições de contorno, temos que c 1 + c 2 = 0   e c 1 e - 1 + c 2 e - λ = 0 .

Substituindo uma equação na outra temos

e - 1 = e - λ

λ = 1

Isso é contrário ao que supomos no começo desse passo.

Passo 3

Se λ = 1 , a solução geral passa a ser

y = c 1 e - x + c 2 x e - x

Impondo as condições de contonor encontramos c 1 = 0   e c 1 e - 1 + c 2 e - 1 = 0 .

Logo podemos observar que não existem soluções triviais para essa EDO.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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