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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.6 - Ex. 11

Em cada um dos problemas de 5 a 12, encontre a solução geral da equação diferencial dada. Nos Problemas 11 e 12,g é uma função contínua arbitrária.

y ' ' - 5 y ' + 6 y = g ( t )        

Passo 1

Nos foi dada a próxima equação. y ' ' - 5 y ' + 6 y = g ( t )          

Pelo teorema 4.7.2, a solução particular da equação.

y ' ' + p t y ' + q t y = g ( t )

É dado por:

Y t = y 1 t u 1 t + y 2 ( t ) u 2 ( t )

Onde u 1 é dado por:

u 1 t = - ∫ y 2 t g t W y 1 , y 2 t d t + c 1

E u 2 por:

u 2 t = ∫ y 1 t g ( t ) W y 1 , y 2 ( t ) d t + c 2

Onde y 1 e y 2 formam um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea correspondente.

A equação homogênea correspondente é:

y ' ' - 5 y ' + 6 y = g ( t )        

Pode ser reescrita como:

λ 2 - 5 λ + 6 = 0

Onde:

λ = 3

λ = 2

Portanto, a solução geral é:

y = c 1 e 3 t + c 2 e 2 t

Passo 2

Vamos verificar se y 1 t = e 3 t e y 2 t = e 2 t , formam um conjunto fundamental de solução, encontrando seus Wronskianos.

W y 1 , y 2 t = y 1 y 2 y 1 ' y 2 ' = y 1 y 2 ' - y 1 ' y 2

= 2 e 5 t - 3 e 5 t

W = - e 5 t

O que é sempre diferente de zero. Portanto, y 1 t e y 2 t formam um conjunto fundamental de soluções.

Vamos agora encontrar u 1 e u 2 e g t .

u 1 t = ∫ - e 2 t . g ( t ) - e 5 t d t + c 1 = ∫ e - 3 t g ( t ) d t + c 1

E u 2 por:

u 2 t = ∫ e 3 t . g ( t ) - e 5 t d t + c 2 = - ∫ e - 2 t g ( t ) d t + c 2

Aplicando na equação geral, teremos:

Y t = e 3 t ∫ e - 3 t g ( t ) d t + c 1 + e 2 t - ∫ e - 2 t g ( t ) d t + c 2

Solução completa:

y t = c 1 e 3 t + c 2 e 3 t + e 3 t ∫ e - 3 t g ( t ) d t + c 1 + e 2 t - ∫ e - 2 t g ( t ) d t + c 2

Resposta

y t = c 1 e 3 t + c 2 e 3 t + e 3 t ∫ e - 3 t g ( t ) d t + c 1 + e 2 t - ∫ e - 2 t g ( t ) d t + c 2

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