Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 20
Seja em que um número real arbitrário.
(a) Encontre , e .
(b) Use um argumento indutivo para mostrar que
(c) Determine .
(d) Use para resolver o problema de valor inicial ,.
Passo 1
a) Efetuando a multiplicação direta da matriz :
Para :
Para :
b)Utilizando o argumento
Vamos utilizar o argumento e somarmos em e vamo ver o resultado, caso seguir a lógica do argumento estará provado que é verdadeiro:
Passo 2
Apliciando oque esclarecido no passo 1, temos:
O argumento segue a lógica intuitiva, logo ele é verdadeiro.
Passo 3
c)Para determinando :
Temos que uma exponencial de uma matriz quadrada é definida por:
Em que é a matriz identidade.
E executar este tipo de formula para uma matriz diagonal é dado por:
Com base nisso, vamos aplicar a nossa matriz , e teremos:
Passo 4
d)Temos:
x
Para determinarmos a solução específica do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um verto próprio:
Temos que:
Assumindo , teremos:
Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:
Aplicando a formula da solução geral temos:
Logo a solução geral fica:
Aplicando as condições iniciais temos:
Ficamos com o seguinte sistema:
Tendo resultado como:
Portanto a solução específica é:
Resposta
a)
b)
c)
d)