Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 11
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
11.
Passo 1
a) Os pontos que zeram o primeiro termo, podem ser e , eles serão as singularidades da equação dada. Vamos ver se esses pontos são regulares ou não. Para isso, a gente escreve a equação na forma:
Sendo que cada função de é:
Agora a gente divide tudo por e depois multiplicamos pelo quadrado da variável, mas como o ponto singular não é no , precisamos ‘transladar’ ele para a origem, então para cada singularidade a gente faz
Os termos que envolvem as razões de podem fazer com que a equação divirja para infinito, então precisamos aplicar os limites sobre as razões com para checarmos se isso acontece ou não, caso não aconteça a singularidade vai ser regular.
Primeiro fazemos para :
Os dois limites deram um número, nossa singularidade é regular.
Agora fazemos para
Nesse caso, os limites também são finitos, isso significa que a singularidade é regular.
Passo 2
b) Para cada ponto, podemos escrever a equação indicial na forma:
Como o e o deram iguais para as duas singularidades, a equação indicial vai ser a mesma para cada ponto:
As raízes serão:
Elas serão os expoentes das singularidades na solução.