Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 10
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
10.
Passo 1
a) Beleza, os pontos onde o primeiro termo zera são e . Para mostrarmos que são pontos singulares regulares, a gente escreve a equação na forma:
Dividimos tudo por e multiplicamos por para o caso de e para a gente faz , isso é o mesmo que deslocar a singularidade para a origem. Para o primeiro ponto a equação fica o seguinte:
Cada função é:
Então aplicamos o limite com tendendo para o ponto singular sobre os termos que envolvem as razões de , se esse limite tender para infinito, significa que a singularidade caracteriza uma irregularidade, assim:
Como o limite da primeira razão já diverge, a gente não precisa nem calcular a outra, já que o ponto já é irregular.
Agora fazemos para
Os dois limites resultaram em valores finitos, números, então essa singularidade é regular.
Passo 2
b) Para o ponto singular regular, a gente pode escrever a equação indicial na forma:
E substituir os e que calculamos ao fazermos os limites:
Podemos ver que as raízes vão ser:
Sendo elas os expoentes.