a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valorinicial y ″+2 y '+2 y=f( t ) ;y ( 0 )= 0 ,y '( 0 )=0 É y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ (b) Mostre que, sef ( t )=δ ( t–π ) , então a solução do item (a) se reduz a y=u π t e –( t –π )s e n ( t–π ) . (c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f ( t ) =δ ( t–π ) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

b) y = u π t e - t - π s e n t - π

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 6.5 - Ex. 25b

a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor

inicial

É

(b) Mostre que, se, então a solução do item (a) se reduz a

(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com

e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

Passo 1

b) Tendo a solução do item (a), teremos que simplesmente estar aplica a transformada de Laplace em e substituindo na resposta e vamos ver no que resultara.

Passo 2

Vamos lá substituindo na resposta do item (a), temos:

Para caso , temos:

Agora colocando , e tendo nós temos:

Portanto, nós temos:

Resposta

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