a)Use o método de variação dos parâmetros para mostrar que a solução do problema de valor

inicial

y ″   +   2 y '   +   2 y   =   f   ( t ) ;   y ( 0 )   = 0 ,   y '   ( 0 )   =   0

É

y = ∫ 0 t e - t - τ f τ s e n t - τ d τ

(b) Mostre que, se   f ( t )   =   δ ( t   –   π ) , então a solução do item (a) se reduz a

y   =   u π t e –   ( t –   π )   s e n ( t   –   π ) .

(c) Use uma transformada de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado com f ( t )

=   δ ( t   –   π ) e confirme que a solução coincide com a encontrada no item (b).

Passo 1

b) Tendo a solução do item (a), teremos que simplesmente estar aplica a transformada de Laplace em f t e substituindo na resposta e vamos ver no que resultara.

f s = L f t = δ s - π

Passo 2

Vamos lá substituindo na resposta do item (a), temos:

Para caso t < π , temos:

y t = ∫ 0 t e - t - s s e n   t - s δ s - π d s

y t = ∫ 0 t e - t - s s e n   t - s ∙ 0   d s = 0

Para caso t > π , temos:

y t = ∫ 0 t e - t - s s e n t - s δ s - π d s

y t = e - t - π s e n t - π

Agora colocando t = π + ϵ , ϵ > 0 ,   e tendo ϵ → 0 , nós temos:

lim ϵ → 0 + ⁡ f π + ϵ = l i m ϵ → 0 +   e - ϵ s e n ϵ = 0 = f π

Portanto, nós temos:

y = u π t e - t - π s e n t - π

Resposta

b) y = u π t e - t - π s e n t - π

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