Usando o resultado do Problema 12, mostre que a solução geral da equação de Airy y ″–x y=0 , x0 É y = x 1 / 2 c 1 f 1 2 3 i x 3 2 + c 2 f 2 2 3 i x 3 2 ,em que f 1 ( ξ ) e f 2 ( ξ ) formam um conjunto fundamental de soluções da equação de Bessel de ordem um terço.

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 13

Usando o resultado do Problema 12, mostre que a solução geral da equação de Airy

,

É ,em que e formam um conjunto fundamental de soluções da equação de Bessel de ordem um terço.

Passo 1

Se definirmos ; e e substitua esses valores na equação.

Do Problema 12, obtemos a equação Airy:

Se :

Portanto, uma solução da equação Airy é dada por onde é uma solução da equação de Bessel de ordem um terço. Se e são duas soluções do Airy equação com e formando um conjunto fundamental de soluções da equação de Bessel de ordem de um terço, então, por definição, o Wronskiano de e é diferente de zero.