Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.6 - Ex. 3
Em cada um dos problemas de 1 a 12:
(a) Encontre todos os pontos singulares regulares da equação diferencial dada
(b) Determine a equação indicial e os expoentes na singularidade para cada ponto singular regular.
3.
Passo 1
a) Os pontos singulares, ou seja, que zeram o primeiro termo da equação, são e . Para mostrarmos que eles são regulares, precisamos escrever a equação como:
Dividindo equação por e multiplicando por , ela fica:
Com
Vamos primeiro aplicar o limite :
Como os limites são finitos, o primeiro ponto é singular regular.
Agora repetimos o processo para , mas dessa vez multiplicamos a equação por ao invés de , os limites então ficam:
Esse também vai ser um ponto singular regular.
Passo 2
b) Vamos encontrar os expoentes do ponto . Pela definição da equação indicial:
Substituindo e que obtivemos pelos limites:
As raízes da equação serão:
E encontramos os expoentes.
Agora para , a gente repete o processo, mas substitui e correspondente ao que calculamos para esse ponto:
As raízes então serão: