Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 5.7 - Ex. 3

Em cada um dos problemas de 1 a 4, mostre que a equação diferencial dada tem um ponto singular regular em x   =   0 , e determine duas soluções para x   >   0 .

x 2 y ″   +   x y '   +   2 x y   =   0

Passo 1

Sendo a nossa equação:

x 2 y ″   +   x y '   +   2 x y   =   0

A partir da equação dada podemos dizer que: P ( x ) = x 2 , Q ( x ) = x e R x = 2 x .

Onde o único ponto singular é x 0 = 0 .

Aplicando nas condições de singularidade, teremos:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) Q x P x = lim x → 0 ⁡ x x x 2 = lim x → 0 ⁡ 1 = 1 ( = p 0 )  

E também:

lim x → x 0 ⁡ ( x - x 0 ) 2 R x P ( x ) = lim x → 0 ⁡ x 2 2 x x 2 = lim x → 0 ⁡ 2 x = 0 ( = q 0 ) ⁡  

Como ambos são finitos ,   x 0 = 0 é um ponto singular regular da equação diferencial fornecida. Como p 0 = 1 e q 0 = 0 , a equação indical correspondente é:

F ( r ) = r ( r - 1 ) + p 0 r   + q 0

= r r - 1 + r

r 2 = 0

Isso significa que temos duas raízes nulas onde r = 0 .

Passo 2

Pelo teorema 5.6.1, a primeira solução pode ser dada por:

y 1 x = x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n r 1 x n = x - 1 1 + ∑ n = 1 ∞ a n - 1 x n  

Os coeficientes a n ( 0 ) , além de a 0 ( 0 ) = 1 , são determinados pela relação de recorrência do livro, no caso de r   =   r 1 .

n 2 a n 0 + ∑ k = 0 n - 1 a k 0 k p n - k + q n - k = 0

Onde:

∑ n = 0 ∞ p n x n = x Q x P ( x ) = 1

E:

∑ n = 0 ∞ q n x n = x 2 R x P ( x ) = 2 x

Respectivamente, conseguimos dizer que:

p 0 = 1 ,   p n = 0

q 1 = 2 ,   q n = 0 ,   q n = 0

Fatorando a n ( 0 ) , teremos:

a n 0 = - ∑ k = 0 n - 1 a k 0 [ k p n - k + q n - k ] n 2

Com o primeiro par de elementos:

a 1 0 = - a 0 ( 0 ) ( 0 + q 1 ) 1 2 = - 1 1 2 1 1 ! 2

a 2 0 = - [ a 0 0 q 2 + a 1 0 p 1 + q 1 ] 2 2 = - 0 - 2.2 2 2 = - 1 2 2 2 2 ! 2

a n = - 1 n 2 n r + n ! 2

Por indução matemática, a primeira solução é:

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n n ! 2 x n

Passo 3

Já encontramos y 1 agora precisamos encontrar y 2 .

Como r 1 - r 2 = 0 é um número inteiro, pelo Teorema 5.6.1, a segunda solução é dada por:

y 2 x = a y 1 x ln ⁡ x + x r 1 1 + ∑ n = 1 ∞ b n r 1 x n

= y 1 x ln ⁡ x + ∑ n = 1 ∞ b n 0 x n

Tendo determinado c n , substituímos na equação diferencial os valores para y 2 '   e   y 2 ' ' :

y 2 ' = y 1 ' x ln ⁡ x + y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n b n 0 x n - 1  

y 2 ' ' x = y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 y 1 ' x x - y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n 0 x n - 2

Nós também diferenciamos uma vez:

y 1 ' x = 1 + ∑ n = 1 ∞ a n 0 x n ' = ∑ n = 1 ∞ n a n 0 x n - 1 = ∑ n = 0 ∞ n + 1 a n + 1 0 x n

Passo 4

Substituindo nas equações, nós temos que:

x 2 y ″   +   x y '   +   2 x y   =   0

Substituindo teremos:

= x 2 y 1 ' ' x ln ⁡ x + 2 y 1 ' x x - y 1 x x 2 + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n 0 x n - 2 + x y 1 ' x ln ⁡ x + y 1 x x + ∑ n = 1 ∞ n b n 0 x n - 1   + 2 x y 1 x ln ⁡ x + ∑ n = 1 ∞ b n 0 x n

Reorganizando teremos:

= ln ⁡ x x 2 y 1 ' ' + x y 1 ' + 2 y 1 + 2 x y 1 ' x + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n 0 x n + ∑ n = 1 ∞ n b n 0 x n + 2 ∑ n = 1 ∞ b n 0 x n + 1

Mais uma vez:

= 2 ∑ n = 1 ∞ n a n 0 x n + ∑ n = 2 ∞ n n - 1 b n 0 x n + b 1 0 x + ∑ n = 2 ∞ n b n 0 x n + 2 ∑ n = 2 ∞ b n - 1 0 x n

E por fim:

= 2 a 1 0 + b 1 0 x + ∑ n = 2 ∞ [ 2 n a n 0 + n 2 b n 0 + 2 b n - 1 ( 0 ) ] x n = 0

Passo 5

Igualando os coeficientes de ambos os lados em na equação encontrada no passo anterior, obtemos:

2 a 1 0 + b 1 0 = 0

2 n a n 0 + n 2 b n 0 + 2 b n - 1   0 = 0

Por indução matemática, podemos decidir os termos:

b 1 0 = - 2 - 1 1 2 1 . 1 1 ! 1

Podemos generalizar como:

b n 0 = - 2 b n - 1 ( 0 ) + n a n n 2

Assim, a segunda solução será:

y 2 x = y 1 x ln ⁡ x - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n H n n ! 2 x n    

Resposta

y 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n n ! 2 x n

y 2 x = y 1 x ln ⁡ x - 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n H n n ! 2 x n    

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Resolva a equação de Cauchy-Euler x 2 y ' ' + 3 x y ' - 8 y = 0 Pelo método de Frobenius
Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Se x = 0 é uma singularidade regular, use (12) em (2) para mostrar que (13) é a equação indicial obtida pelo método de Frobenius.
Nos problemas 35 e 36, note que x 0 = 0 é uma singularidade irregular de cada equação. Em cada caso verifique se o método de Frobenius forneceu uma solução x 3 y ' ' + y = 0
(a) Mostre que a equação diferencial x 2 y ' ' - 4 y = 0 tem uma singularidade no infinito. [Sugestão: Veja página 328.](b) Classifique o ponto singular no infinito como regular ou irregular.