Mostre que a equação de Bessel de ordem meio x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0 ;x0 pode ser reduzida à equação υ ″ + υ = 0 pela mudança da variável dependente y=x- 1 2 υ ( x ) . Conclua disso que y 1 x = x - 1 2 cos ⁡ x e y 2 ( x ) = x - 1 2s e nx são soluções da equação de Bessel de ordem meio.

y 1 = x - 1 2 cos ⁡ x ,y 2 x = - x - 1 2 sin ⁡ x

Enunciado

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar as derivadas de , se:

As derivadas serão:

E também:

Substituindo na equação de Bessel de ordem metade, obtemos:

Que é, devido a , equivalente a:

Agora, temos que encontrar a solução de (4). A quantidade de caractere correspondente é

Com raízes , a solução geral de (3) é dada por

Substituindo a solução obtida em (1), temos:

Definindo e e, em seguida, e em (5), obtemos dois solutos da equação de Bessel de ordem metade: