Enunciado

Mostre que a equação de Bessel de ordem meio

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0 ;           x > 0

pode ser reduzida à equação

υ ″ + υ = 0  

pela mudança da variável dependente y   =   x   - 1 2 υ ( x ) . Conclua disso que y 1 x = x - 1 2 cos ⁡ x e y 2 ( x ) = x - 1 2   s e n   x   são soluções da equação de Bessel de ordem meio.

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer é encontrar as derivadas de y , se:

y = x - 1 2 v x ,   x > 0

As derivadas serão:

y ' = - 1 2 x - 3 2 v + x - 1 2     v '

E também:

y ' ' = 3 4 x - 5 2 - x - 3 2 v ' + x - 1 2 v ' '

Substituindo y ,   y ' ,   y ' ' na equação de Bessel de ordem metade, obtemos:

x 2 y ' ' + x y ' + x 2 - 1 4 y = 0

x 2 3 4 x - 5 2 - x - 3 2 v ' + x - 1 2 v ' ' + x - 1 2 x - 3 2 v + x - 1 2     v ' + x 2 - 1 4 x - 1 2 v x = 0

= x 3 2 v ' ' + x 3 2 v = 0

Que é, devido a x >   0 , equivalente a:

v ' ' + v = 0

Passo 2

Agora, temos que encontrar a solução de (4). A quantidade de caractere correspondente é

r 2 + 1 = 0

Com raízes r 1,2   =   i , a solução geral de (3) é dada por

v   =   A   c o s   x   +   B   s i n   x

Substituindo a solução obtida v   em (1), temos:

y = x - 1 2 ( A   c o s   x   +   B   s i n   x ) .

Definindo A   =   1 e B   =   0 e, em seguida, A   =   0 e B   =   1 em (5), obtemos dois solutos da equação de Bessel de ordem metade:

y 1 = x - 1 2 cos ⁡ x ,   y 2 x = - x - 1 2 sin ⁡ x  

Resposta

y 1 = x - 1 2 cos ⁡ x ,   y 2 x = - x - 1 2 sin ⁡ x

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Nos problemas 23-34, mostre que as raízes indiciais diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno da singularidade regular x 0 =
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Nos problemas 11-22, mostre que as raízes indiciais não diferem por um inteiro. Use o método de Frobenius para obter duas soluções seriais linearmente independentes em torno do ponto singular regular
Use (13) para encontrar a equação indicial e os expoentes de x 2 y ' ' + 5 3 x + x 2 y ' - 1 3 y = 0