Considere a condução de calor em uma barra com 40 cm de comprimento cujas extremidades são

mantidas à temperatura 0°C para todo t > 0 . Em cada um dos problemas de 9 a 12, encontre uma

expressão para a temperatura u(x, t) quando a distribuição de temperatura inicial na barra for igual à função dada. Suponha que α 2 = 1 .

Passo 1

A solução geral desse problema é:

u ( x , t ) = ∑ n = 1 ∞ c n e - n 2 π 2 t 1600 s i n n π x 40

Então, precisamos achar os coeficientes c n que são os coeficientes senoidais de Fourier de u ( x , 0 ) . Então:

c n = 2 L ∫ 0 L f ( x ) s i n n π x L d x = 100 c o s n π 4 - c o s 3 n π 4 n π

Portanto, a solução do problema é (basta substituir o c n ):

u ( x , t ) = 100 π ∑ n = 1 ∞ c o s n π 4 - c o s 3 n π 4 n e - n 2 π 2 t 1600 s i n n π x 40

Resposta

u ( x , t ) = 100 π ∑ n = 1 ∞ c o s n π 4 - c o s 3 n π 4 n e - n 2 π 2 t 1600 s i n n π x 40

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