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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 15

Em cada um dos problemas de 13 a 18:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = x ,     - π ≤ x < 0 , 0 ,     0 ≤ x < π ;                             f x + 2 π = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

Essa função é periódica com o período 2 π . Neste caso ,   L   =   π e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Onde os coeficientes são calculados a partir da fórmula (13) e (14) na página 600. Se L   =   π :

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x π + b m sen ⁡ m π x π

Então, cortando os termos em comum:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m x + b m sen ⁡ m x

Quando m = 0 , nós teremos:

a m = 1 π ∫ - π 0 x cos ⁡ m x d x = 1 π ∫ - π 0 x 1 d x

a m = 1 π x 2 2 - π 0 = - π 2

Quando m > 0 , nós teremos:

a m = 1 π 1 m x sen ⁡ m x + 1 m 2 cos ⁡ m x - π 0

a m = 1 - cos ⁡ m π m 2 π

Então, nossas condições serão:

= 2 π m 2   ,   m   í m p a r   0   ,   m   p a r

Similarmente:

b m = 1 π ∫ - π 0 x sen ⁡ m x d x

= 1 π - 1 m x cos ⁡ m x + 1 m 2 sen ⁡ m x - π 0

= 0 + 1 π . - π m cos ⁡ m π

= - 1 m + 1 m

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x = - π 4 + ∑ m   é   í m p a r 2  cos ⁡ m x π m 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 sin ⁡ n x n

Se m = 2 n - 1 :

f x = - π 4 + ∑ m   é   í m p a r 2  cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x π ( 2 n - 1 ) 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 sin ⁡ n x n

Resposta

f x = - π 4 + ∑ m   é   í m p a r 2  cos ⁡ ( 2 n - 1 ) x π ( 2 n - 1 ) 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n + 1 sin ⁡ n x n

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Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = 0 , - 2 ≤ x ≤ - 1 , x , - 1x1 ; 0 ,1 ≤ x2 ; f x + 4 =
Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = - x , - L ≤ xL ; f x + 2 L = f ( x )
Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = x + 1 , - 1 ≤ x0 , 1 - x , 0 ≤ x1 ; f x + 2 = f ( x )
Em cada um dos problemas de 13 a 18: (a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos. (b) Encontre a série de Fourier da função dada. f x = x + L , - L ≤ x ≤ 0 , L , 0xL ; f x + 2 L = f ( x )