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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 10.2 - Ex. 19

Em cada um dos problemas de 19 a 24:

(a) Esboce o gráfico da função dada por três períodos.

(b) Encontre a série de Fourier da função dada.

f x = - 1   ,   - 2 ≤ x < 0 1 ,   0 ≤ x < 2     f x + 4 = f ( x )

Passo 1

(a) O gráfico pode ser dado por um CAS (caso do Geogebra, Desmos, Symbolab).

O gráfico esboçado é dado por:

Passo 2

Esta função é periódica com o período 4.

Portanto, neste caso, L = 2   e a série de Fourier tem a forma:

f x = a 0 2 + ∑ m = 1 ∞ a m cos ⁡ m π x L + b m sen ⁡ m π x L

Observe que f ( x ) é uma função ímpar ( f ( - x )   = -   f   ( x ) ) . Conforme descrito em (8) na página 616, temos:

a n = 0 ;           n = 0,1 , 2 …

Então:

b n = 2 L ∫ 0 L f x sen ⁡ n π x L d x ,       n = 1,2 …

b m = 2 2 ∫ 0 2 sen ⁡ m π x 2 d x

= - 2 m π cos ⁡ m π x 2 0 2

= 2 - cos ⁡ m π + 1 m π

= 4 m π ,       m   í m p a r 0 ,     m   p a r  

Finalmente, substituímos os coeficientes pela fórmula e obtemos:

f x =   4 π ∑ m   í m p a r sen ⁡ m x π 2 m

Para m = 2 n - 1 , nós temos:

f x =   4 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( 2 n - 1 ) x π 2 2 n - 1

Resposta

f x =   4 π ∑ n = 1 ∞ sen ⁡ ( 2 n - 1 ) x π 2 2 n - 1

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Verifique as Eqs. (6) e (7) nessa seção integrando diretamente.
Se f ( x )=L–x para 0x 2 L e se f ( x + 2 L )=f ( x ) , encontre uma fórmula para f ( x ) no intervalo – L x0 .
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. tan ⁡ π x
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. f x = 0 , 2 n - 1 ≤ x2 n 1 , 2 n ≤ x2 n + 1n = 0 , ± 1 , ± 2 …
Em cada um dos problemas de 1 a 8, determine se a função dada é periódica. Se for, encontre seu período fundamental. co s ⁡ 2 π x