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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 6 :

( a ) Encontre a solução geral do sistema de equações dado e descreva o comportamento das soluções quando t → ∞

( b ) Desenhe um campo de direções e faça o gráfico de algumas trajetórias do sistema

x ' = 5 / 4 3 / 4 3 / 4 5 / 4 x

Passo 1

Fazendo os auto valores dessa matriz nós temos:

det ⁡ 5 4 - r 3 4 3 4 5 4 - r = 0

O que será:

5 4 - r 2 - 9 16 = 0

r 2 - 10 4 r + 25 16 - 9 16 = 0

r 2 - 5 2 r + 1 = 0

Então os autovalores serão iguais a:

r 1 = 0.5

r 2 = 2

Passo 2

Então o auto vetor associado a r = 2 será:

5 4 - 2 3 4 3 4 5 4 - 2 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

O que dá:

- 3 4 3 4 3 4 - 3 4 ξ 1 1 ξ 2 1 = 0

E que podemos ver que há relação entre ξ 1 1 e ξ 2 1 igual a:

- 3 4 ξ 1 1 + 3 4 ξ 2 1 = 0

ξ 1 1 = ξ 2 1

De forma que o auto valor ξ 1 seja igual a:

ξ 1 = 1 1

Fazendo com que esse auto valor nos dê uma solução igual a:

x 1 = c 1 1 1 e 2 t

Passo 3

Já o autovalor para r = 0.5 é:

5 4 - 1 2 3 4 3 4 5 4 - 1 2 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

3 4 3 4 3 4 3 4 ξ 1 2 ξ 2 2 = 0

Dessa forma a relação entre ξ 1 2 e ξ 2 2 será:

3 4 ξ 1 2 + 3 4 ξ 2 2 = 0

ξ 1 2 = - ξ 2 2

Nos dando um autovalor ξ 2 igual a:

ξ 2 = 1 - 1

Então a solução por parte desse autovalor será igual a:

x 2 = c 2 1 - 1 e 1 2 t

E a solução geral será:

x = c 1 1 1 e 2 t + c 2 1 - 1 e 1 2 t

Muita atenção com esse valor de 1 4 em todo mundo por que ele influencia no valor dos autovalores.

Passo 4

Resposta

a )   x = c 1 1 1 e 2 t + c 2 1 - 1 e 1 2 t

b )   I m a g e m   d o   P a s s o   4

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Resolva o problema de valor inicial x ' = 2 - 1 3 - 2 x , x 0 = 2 - 1 usando a matriz fundamental Φ ( t ) encontrada no Problema 3.
Mostre que Φ t =Ψ t Ψ - 1 ( t 0 ) , em que Φ ( t ) e Ψ ( t ) são como definidas nesta seção.
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 1 - 1 5 - 3 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 5 1 - 2 x
Em cada um dos problemas de 1 a 10 :(a) Encontre uma matriz fundamental para o sistema de equações dado.(b) Encontre, também, a matriz fundamental Φ ( t ) que satisfaz Φ ( 0 )=I . x ' = 2 - 1 3 - 2 x