Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.5 - Ex. 18
Em cada um dos problemas de 15 a 18, resolva o problema de valor inicial dado. Descreva o comportamento da solução quando .
Passo 1
Resolvendo os autovalores dessa questão nós temos:
Resolvendo a determinante teremos a seguinte equação característica:
O que nos dá raízes iguais a:
Passo 2
O autovetor para será:
Pela primeira linha temos:
Portanto uma solução seria
Então pela segunda linha teremos:
Então como então nos dando um autovetor igual a:
Então a contribuição para a solução geral causada por esse autovetor será:
Passo 3
Agora para o autovalor teremos o seguinte autovetor:
Nos dando na primeira linha uma relação igual a:
Uma solução para essa equação seria e , agora para a segunda linha nós teremos:
E como então , nos dando então um autovetor igual a:
Logo a solução causada por esse autovalor será:
Passo 4
Agora para teremos:
Da primeira linha podemos tirar que:
Uma solução para essa equação seria e
Então para a terceira linha teríamos
E como então , para não ficar esse no nosso autovetor vamos multiplicar todo mundo por 2,logo o autovetor para esse autovalor será:
Logo a solução causada por esse autovalor será:
O que pode ser escrito como:
Pois se multiplicarmos na constante ela continua sendo uma constante, então a solução geral fica:
Passo 5
Agora aplicando as condições iniciais (em ) nós teremos:
Somando a primeira e a terceira equação nós teremos:
Agora somando a primeira multiplicada duas vezes e diminuindo da segunda:
Agora se comparando com nós temos:
Multiplicando a segunda por 2
Somando as duas:
Substituindo esse valor em temos:
Agora aplicando em qualquer uma das três equações originais nós teremos:
Deixando nossa solução igual a:
Exercício puramente transpiratório e algébrico hahaha