Em cada um dos problemas de 15 a 20, use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e é uma constante real.

17.

Agora a gente resolve uma de cada vez usando método de integração por partes:

Na primeira, vamos chamar de e de . Vamos também, substituir o por A e aplicar o limite, já que a integral é impropria, ela fica:

Agora integramos a última parte:

Ao aplicarmos os limites, a exponencial pode explodir no infinito, vamos então colocar uma condição para que ela tenda para zero quando :

Com isso, as exponenciais somem, a integral fica o seguinte:

Fazemos o mesmo para a outra integral que precisamos resolver. Escrevemos o limite de , chamamos de e de para a integração por partes ficar:

Resolvendo a última integral:

Vamos colocar de novo uma condição para que as exponenciais não façam a integral divergir:

Juntando com a condição de antes, nossa condição final vai ser:

Agora quando a gente substituir os limites de integração, as exponenciais serão zero, e vai sobrar o seguinte:

Substituindo os nossos resultados lá na equação da transformada: